Tìm giới hạn $C = \lim_{x \to + \infty} [\sqrt[n]{(x + a_{1}) (x + a_{2}) . . . (x + a_{n})} - x]$ .

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

+ \infty

- \infty

\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n}

\frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{2 n}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Đặt

y = \sqrt[n]{(x - a_{1}) (x - a_{2}) . . . (x - a_{n})}

\Rightarrow y^{n} - x^{n} = (y - x) (y^{n - 1} + y^{n - 1} x + . . . + x^{n - 1})

\Rightarrow y - x = \frac{y^{n} - x^{n}}{y^{n - 1} + y^{n - 1} x + . . . + x^{n - 1}}

\Rightarrow \lim_{x \to + \infty} (y - x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{y^{n} - x^{n}}{y^{n - 1} + y^{n - 2} x + . . . + x^{n - 1}}

\Rightarrow C = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{y^{n} - x^{n}}{x^{n - 1}}}{\frac{y^{n - 1} + y^{n - 1} x + . . . + x^{n - 1}}{x^{n - 1}}}

.
Mà

\lim_{x \to + \infty} \frac{y^{n} - x^{n}}{x^{n - 1}} = \lim_{x \to + \infty} (a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n} + \frac{b_{2}}{x} + \frac{b_{3}}{x^{2}} + . . . + \frac{b_{n}}{x^{n - 1}})

= a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}

\lim_{x \to + \infty} \frac{y^{k} x^{n - 1 - k}}{x^{n - 1}} = 1 \forall k = 0, . . ., n - 1

\Rightarrow \lim_{x \to + \infty} \frac{y^{n - 1} + y^{n - 2} x + . . . + x^{n - 1}}{x^{n - 1}} = n

.
Vậy

C = \frac{a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n}}{n}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học