Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $2^{|x|} = \sqrt{m^{2} - x^{2}}$ có hai nghiệm thực phân biệt.

[\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 1 \end{array} .

[\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 2 \end{array} .

[\begin{array}{l} m < - 2 \\ m > 2 \end{array} .

- 3 < m < - 1.

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải. Đặt

t = |x| \geq 0.

Phương trình trở thành

2^{2 t} + t^{2} = m^{2} .

Nhận xét: Với mỗi nghiệm

t \neq 0

ta tìm được tương ứng hai nghiệm

x .

Xét hàm

f (t) = 2^{2 t} + t^{2}

trên

(0; + \infty)

Ta có

f^{'} (t) = {2. 2}^{2 t} . l n 2 + 2 t > 0, \forall t > 0.

Dựa vào bảng biên thiên, ta thấy yêu cầu bài toán

m^{2} > 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - 1 \end{array} .

Chọn A

Cách 2. Phương pháp hình học. Nhận thấy phương trình

2^{|x|} = \sqrt{m^{2} - x^{2}}

là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

y = 2^{|x|}

và nửa đường tròn

x^{2} + y^{2} = m^{2}

(phần phía trên trục hoành) như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ ta thấy để hai đường này cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi

m^{2} > 1

\Leftrightarrow m > 1

hoặc

m < - 1.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi