Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{2}{3} x^{3} - m x^{2} - 2 (3 m^{2} - 1) x + \frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị có hoành độ $x {}_{1}$ , $x_{2}$ sao cho $x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) = 1$ .

m = 0.

m = - \frac{2}{3} .

m = \frac{2}{3} .

m = - \frac{1}{2} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có :

y' = 2 x^{2} - 2 m x - 2 (3 m^{2} - 1) = 2 (x^{2} - m x - 3 m^{2} + 1)

g (x) = x^{2} - m x - 3 m^{2} + 1

là tam thức bậc hai có

Δ = 13 m^{2} - 4

. Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

y'

có hai nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow

g (x)

có hai nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow

Δ > 0

\Leftrightarrow

[\begin{array}{l} m > \frac{2 \sqrt{13}}{13} \\ m < - \frac{2 \sqrt{13}}{13} \end{array}

x_{1}

x_{2}

là các nghiệm của

g (x)

nên theo định lý Vi-ét, ta có

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1} x_{2} = - 3 m^{2} + 1 \end{cases}

.
Do đó

x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) = 1

\Leftrightarrow

- 3 m^{2} + 2 m + 1 = 1

\Leftrightarrow

- 3 m^{2} + 2 m = 0

\Leftrightarrow

[\begin{array}{l} m = 0 \\ m = \frac{2}{3} \end{array}

.
Đối chiếu với điều kiện , ta thấy chỉ

m = \frac{2}{3}

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi