Tìm tổng tất cả các điểm cực đại của hàm số $y = \cos 2 x + 2 \sin x - 2017$ trên $[0; 2017 π]$

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

2033136 π

1016567. 5 π

2035153 π

1017576. 5 π

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải

y^{'} = - 2 \sin 2 x + 2 \cos x = - 2 \cos x (2 \sin x - 1)

;

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ 2 \sin x - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array}; k \in ℤ

y^{″} = - 4 \cos 2 x - 2 \sin x

.
Do

y^{″} (\frac{π}{2} + k π) > 0

và

y^{″} (\frac{π}{6} + k 2 π) < 0

y^{″} (\frac{5 π}{6} + k 2 π) < 0

nên hàm số đạt cực đại tại các điểm

x = \frac{π}{6} + k 2 π

và

x = \frac{5 π}{6} + k 2 π

;

k \in ℤ

.
Xét trên đoạn

[0; 2017 π]

:
Với ta có

0 \leq \frac{π}{6} + k 2 π \leq 2017 π \Leftrightarrow - \frac{1}{12} \leq k \leq \frac{2017}{2}

. Do

k \in ℤ

nên

k \in \{0, 1, 2, . . ., 1008\}

.
Với

x = \frac{5 π}{6} + k 2 π

ta có

0 \leq \frac{5 π}{6} + k 2 π \leq 2017 π \Leftrightarrow - \frac{5}{12} \leq k \leq \frac{2017}{2}

. Do

k \in ℤ

nên

k \in \{0, 1, 2, . . ., 1008\}

.
Do đó tổng các điểm cực đại của hàm số

y = \cos 2 x + 2 \sin x - 2017

trên

[0; 2017 π]

là:

S = 1009 \cdot \frac{π}{6} + (1 + 2 + 3 + . . . + 1008) 2 π + 1009 \cdot \frac{5 π}{6} + (1 + 2 + 3 + . . . + 1008) 2 π = 2035153 π

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi