Tính thể tích $V$ của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x \sqrt{\ln x}$ , trục hoành và đường thẳng $x = e$ quay quanh $O x$ .

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

V = \frac{2 e^{3} + 1}{9} π

V = \frac{2 e^{3} + 1}{3} π

V = \frac{2 e^{3} - 1}{9} π

V = \frac{2 e^{3} - 1}{3} π

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Điều kiện:

\ln x \geq 0

\Leftrightarrow x \geq 1

.
Ta có:

x \sqrt{\ln x} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \end{array}

. Vì điều kiện

x \geq 1

nên nhận

x = 1

.
Từ đó:

V = π \int_{1}^{e} {(x \sqrt{\ln x})}^{2} d x

= π \int_{1}^{e} x^{2} \ln x d x

.
Đặt

\{\begin{cases} u = \ln x \\ d v = x^{2} d x \end{cases}

\Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = \frac{1}{3} x^{3} \end{cases}

.
Suy ra:

V = {(\frac{1}{3} π x^{3} \ln x)|}_{1}^{e} - \frac{1}{3} π \int_{1}^{e} x^{2} d x

= \frac{1}{3} π e^{3} - {(\frac{1}{9} π x^{3})|}_{1}^{e}

= \frac{1}{3} π e^{3} - (\frac{1}{9} π e^{3} - \frac{1}{9} π)

= \frac{1}{9} π + \frac{2}{9} π e^{3}

= \frac{2 e^{3} + 1}{9} π

. Vậy

V = \frac{2 e^{3} + 1}{9} π

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi