Trong không gian $O x y z$ , cho bốn điểm $A (0; 1; - 1)$ , $B (1; 1; 2)$ , $C (1; - 1; 0)$ và $D (0; 0; 1)$ . Mặt phẳng $(α)$ song song với mặt phẳng $(B C D)$ và chia khối tứ diện $A B C D$ thành hai khối đa diện sao cho tỉ số thể tích của khối đa diện có chứa điểm $A$ và khối tứ diện $A B C D$ bằng $\frac{1}{27}$ . Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ .

y + z - 4 = 0

y - z - 1 = 0

- y + z - 4 = 0

3 x - 3 z - 4 = 0

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

M

N

P

lần lượt là giao điểm của mặt phẳng

(α)

với các cạnh

A B

A C

A D

. Đặt

\frac{A M}{A B} = k

(0 < k < 1)

. Vì mặt phẳng

(α)

song song với mặt phẳng

(B C D)

nên

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{A P}{A D} = k

.
Ta có:

\frac{V_{A M N P}}{V_{A B C D}} = \frac{A M}{A B} . \frac{A N}{A C} . \frac{A P}{A D} = k^{3} = \frac{1}{27}

\Rightarrow k = \frac{1}{3}

.
Ta có:

\vec{A M} = \frac{1}{3} . \vec{A B} \Rightarrow M (\frac{1}{3}; 1; 0)

\vec{B C} = (0; - 2; - 2), \vec{B D} = (- 1; - 1; - 1) \Rightarrow \vec{n} = \frac{1}{2} . [\vec{B C}, \vec{B D}] = (0; 1; - 1)

.
Mặt phẳng

(α)

đi qua

M

và song song với mặt phẳng

(B C D)

nên nhận véc-tơ

\vec{n} = (0; 1; - 1)

làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình là:

0 (x - \frac{1}{3}) + 1 (y - 1) - 1 (z - 0) = 0

hay

y - z - 1 = 0

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi