Trong không gian $O x y z$ , cho hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - t \end{cases}$ và $d_{2} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{5}$ . Mặt phẳng cách đều hai đường thẳng $d_{1}$ , $d_{2}$ có phương trình là

6 x - 7 y - z + 7 = 0

3 x - y - 4 z + 9 = 0

2 x - y - z + 2 = 0

2 x - y - 3 z + 7 = 0

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Phương trình tham số của

d_{2} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t^{'} \\ y = 2 + t^{'} \\ z = 1 + 5 t^{'} \end{cases}

d_{1}

có véc tơ chỉ phương

{\vec{u}}_{1} = (1; 1; - 1)

d_{2}

có véc tơ chỉ phương

{\vec{u}}_{2} = (2; 1; 5)

.
Ta có

[{\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}] = (6; 3; - 1) \neq \vec{0}

\Rightarrow d_{1}

d_{2}

cắt hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình

\{\begin{cases} 2 + t = 1 + 2 t^{'} \\ 2 + t = 2 + t^{'} \\ 3 - t = 1 + 5 t^{'} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 1 \\ t^{'} = 1 \\ 3 - t = 1 + 5 t^{'} \end{cases}

vô nghiệm.

\Rightarrow d_{1}

d_{2}

chéo nhau.
Khi đó

(P)

nhận

{\vec{n}}_{(P)} = [{\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}] = (6; - 7; - 1)

làm một véc tơ pháp tuyến nên có phương trình:

(P) : 6 x - 7 y - z + d = 0

.
Gọi

A (2; 2; 3) \in d_{1}

B (1; 2; 1) \in d_{2}

.
Do mặt phẳng

(P)

cách đều hai đường thẳng

d_{1}

d_{2}

\Rightarrow d (A, (P)) = d (B, (P))

\Rightarrow \frac{|6. 2 - 7. 2 - 3 + d|}{\sqrt{6^{2} + {(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{|6. 1 - 7. 2 - 1 + d|}{\sqrt{6^{2} + {(- 7)}^{2} + {(- 1)}^{2}}}

\Leftrightarrow |d - 5| = |d - 9| \Rightarrow d = 7

.
Vậy

(P) : 6 x + 3 y - z + 7 = 0

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi