Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; - 1; 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + z - 4 = 0$ . Biết thiết diện của mặt phẳng $(P)$ với khối cầu $(S)$ là hình tròn có diện tích bằng $π$ . Viết phương trình của mặt cầu $(S)$ .

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 8

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 3

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C

Gọi

H

là hình chiếu vuông góc của

I

lên mặt phẳng

(P)

\Rightarrow I H = d (I, (P)) = \frac{|1 + (- 1) + 1 - 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{3}

.
Thiết diện của mặt phẳng

(P)

với khối cầu

(S)

bán kính

r'

là hình tròn tâm

H

, bán kính

r' = \sqrt{r^{2} - I H^{2}}

.
Mà hình tròn bán kính

r'

có diện tích bằng

π

nên ta có

r' = 1

.
Từ

\Rightarrow r = \sqrt{r'^{2} + I H^{2}} = \sqrt{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} = 2

.
Vậy phương trình mặt cầu

(S)

tâm

I (1; - 1; 1)

bán kính

r = 2

là

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 4

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi