Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu: $(S) : x^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 5$ . Có tất cả bao nhiêu điểm $A (a; b; c)$ $(a, b, c$ là các số nguyên) thuộc mặt phẳng $(O x y)$ sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của $(S)$ đi qua $A$ và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau?

20

8

12

16

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + {(z + 1)}^{2} = 5

có tâm

I (0; 0; - 1)

và có bán kính

R = \sqrt{5}

A (a; b; 0) \in (O x y)

, Gọi

I^{'}

là trung điểm của

A I \Rightarrow I^{'} (\frac{a}{2}; \frac{b}{2}; - \frac{1}{2})

Gọi

E, F

lần lượt là hai tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua

A

sao cho

A E ⊥ A F

.
Ta có:

E, F

cùng thuộc mặt cầu

(S^{'})

đường kính

I A

có tâm

I^{'} (\frac{a}{2}; \frac{b}{2}; - \frac{1}{2})

, bán kính

R^{'} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + 1}

.
Đề tồn tại

E, F

thì hai mặt cầu

(S)

và

(S^{'})

phải cắt nhau suy ra

|R - R^{'}| \leq I I^{'} \leq |R + R^{'}|

\Leftrightarrow |\sqrt{5} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + 1}| \leq \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + 1} \leq \sqrt{5} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + 1}

\Leftrightarrow \sqrt{5} \leq \sqrt{a^{2} + b^{2} + 1} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 4 (1)

Gọi

H

là hình chiếu của

I

trên

(A E F)

khi đó tứ giác

A E H F

là hình vuông có cạnh

A E = H F = \sqrt{A I^{2} - 5}

.
Ta có

I H^{2} = R^{2} - H F^{2} = 5 - (A I^{2} - 5) = 10 - A I^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + 1 \leq 10 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \leq 9 (2)

Từ

(1)

và

(2)

ta có

4 \leq a^{2} + b^{2} \leq 9

mà

a, b, c \in ℤ

nên có

20

điểm thỏa bài toán.
Cách khác:
Mặt cầu

(S)

có tâm

I (0, 0, - 1)

bán kính

R = \sqrt{5}

. Ta có

d_{(I (O x y))} = 1 < R \Rightarrow

mặt cầu

(S)

cắt mặt phẳng

(O x y)

. Để có tiếp tuyến của

(S)

đi qua

A \Leftrightarrow A I \geq R (1)

.
Có

A (a, b, c) \in (O x y) \Rightarrow A (a, b, 0), I A = a^{2} + b^{2} + 1

.
Quỹ tích các tiếp tuyến đi qua

A

của

(S)

là một mặt nón nếu

A I > R

và là một mặt phẳng nếu

A I = R

.
Trong trường hợp quỹ tích các tiếp tuyến đi qua

A

của

(S)

là một mặt nón gọi

A M, A N

là hai tiếp tuyến sao cho

A, M, I, N

đồng phẳng.

Tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của

(S)

đi qua

A

và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi

\hat{M A N} \geq 90^{o} \Leftrightarrow I A \leq R \sqrt{2} (2)

.
Từ

(1), (2) \Rightarrow 4 \leq a^{2} + b^{2} \leq 9

. Vì

a, b \in ℤ

\Rightarrow \{\begin{cases} a^{2} = 0 \\ b^{2} = 9 \end{cases}

hoặc

\{\begin{cases} a^{2} = 9 \\ b^{2} = 0 \end{cases}

hoặc

\{\begin{cases} a^{2} = 4 \\ b^{2} = 0 \end{cases}

hoặc

\{\begin{cases} a^{2} = 0 \\ b^{2} = 4 \end{cases}

hoặc

\{\begin{cases} a^{2} = 1 \\ b^{2} = 4 \end{cases}

hoặc

\{\begin{cases} a^{2} = 4 \\ b^{2} = 1 \end{cases}

hoặc

\{\begin{cases} a^{2} = 4 \\ b^{2} = 4 \end{cases}

.
Bốn hệ phương trình đầu tiên có hai nghiệm, ba hệ sau có 4 nghiệm suy ra số điểm

A

thỏa mãn là

4. 2 + 3. 4 = 20

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Xem thêm

Câu hỏi

Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu: S:x2+y2+z+12=5 . Có tất cả bao nhiêu điểm Aa ; b ; c (a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng Oxy sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của S đi qua A và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau?

Xem thêm các đề thi trắc nghiệm khác

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.