Trong không gian $O x y z$ , cho mặt phẳng $(P) : 3 x + y - z + 5 = 0$ và hai điểm $A (1; 0; 2)$ , $B (2; - 1; 4)$ . Tập hợp các điểm $M$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác $M A B$ có diện tích nhỏ nhất.

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 7 = 0 \\ 3 x - y + z - 5 = 0 \end{cases}

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 14 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0 \end{cases}

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 7 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0 \end{cases}

\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 5 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0 \end{cases}

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có:

S_{Δ M A B} = \frac{1}{2} d_{(M; (A B))} A B .

Ta có: Diện tích tam giác

M A B

nhỏ nhất

\Leftrightarrow d_{(M; (A B))}

nhỏ nhất.

\vec{A B} = (1; - 1; 2)

;

{\vec{n}}_{(P)} = (3; 1; - 1)

\Rightarrow {\vec{n}}_{(P)} . \vec{A B} = 0.

Mà

d_{(M; (A B))}

ngắn nhất,

M

\in (P) .

Nên

M

thuộc giao tuyến của mặt phẳng

(P)

và mặt phẳng

(Q) .

Với

(Q)

là mặt phẳng vuông góc với

(P)

và đi qua

A B

.
Mặt phằng

(Q)

vuông góc với

(P)

đi qua

A B

\Rightarrow {\vec{n}}_{(Q)} = [{\vec{n}}_{(P)}; \vec{A B}] = (1; - 7; - 4) .

\begin{array}{l} A \in (Q) \Rightarrow (Q) : x_{A} - 7 y_{A} - 4 z_{A} + c = 0 \\ \Rightarrow 1 - 7. 0 - 4. 2 + c = 0 \\ \Rightarrow c = 7 \\ \Rightarrow (Q) : x - 7 y - 4 z + 7 = 0 \end{array}

\Rightarrow \{\begin{cases} M \in (Q) \\ M \in (P) \end{cases} \Rightarrow M \in \{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 7 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0 \end{cases} .

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi