Lời giải:.PNG)
Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của \(\text{A}\) lên đường thẳng CD.
Khi đó \(H\left( 2+2t;-1+2t;3+t \right)\)\(\Rightarrow \overrightarrow{AH}\left( 3+2t;2t;3+t \right)\).
Đường thẳng \(CD\) có vtcp là: \(\overrightarrow{u}\left( 2;2;1 \right)\). Ta có:
\(\overrightarrow{AH}\bot \overrightarrow{u}\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow 2\left( 3+2t \right)+2.2t+3+t=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow H\left( 0;-3;2 \right)\)\(\Rightarrow AH=3\).
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và song song với CD\(\Rightarrow \) phương trình \(AB\) là: \(\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}\)
\(B\in AB\Rightarrow B\left( -1+2a;-1+2a;a \right)\Rightarrow AB=3\left| a \right|\Rightarrow CD=6\left| a \right|\)
Theo bài ra ta có: \({{S}_{ABCD}}=\frac{AB+CD}{2}.AH\Leftrightarrow \frac{3\left| a \right|+6\left| a \right|}{2}.3=27\Leftrightarrow \left| a \right|=2\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& a=2 \\
& a=-2 \\
\end{align} \right.\)
Với \(a=-2\Rightarrow B\left( -5;-5;-2 \right)\) (ktm).
Với \(a=2\Rightarrow B\left( 3;3;2 \right)\) (tmđk)
Ta có: \(\overrightarrow{DH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\Rightarrow D\left( -2;-5;1 \right)\Rightarrow a+b+c=-6\).
