Xét các số thực dương $a, b, x, y$ thỏa mãn $a > 1, b > 1$ và $a^{x} = b^{y} = \sqrt{a b}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + 2 y$ thuộc tập hợp nào dưới đây?

(1; 2)

[2; \frac{5}{2})

[3; 4)

[\frac{5}{2}; 3)

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Do

a, b > 1

và

x, y > 0

nên

a^{x} = b^{y} = \sqrt{a b}

\Leftrightarrow

\log_{a} a^{x} = \log_{a} b^{y} = \log_{a} \sqrt{a b}

.
Tìm được

\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} b \\ 2 y = 1 + \log_{b} a \end{cases}

.
Tức

P = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} b + \log_{b} a

.
Lại do

a, b > 1

nên

\log_{a} b, \log_{b} a > 0

.
Tức

P \geq \frac{3}{2} + 2 \sqrt{\frac{1}{2} \log_{a} b . \log_{b} a} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}

P = \frac{3}{2} + \sqrt{2}

\Leftrightarrow

\log_{a} b = \sqrt{2}

.
Lưu ý rằng, luôn tồn tại

a, b > 1

thỏa mãn

\log_{a} b = \sqrt{2}

.
Vậy

\min P = \frac{3}{2} + \sqrt{2}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học