Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $2019^{2 (x^{2} - y + 1)} = \frac{2 x + y}{{(x + 1)}^{2}}$ . Giá trị nhỏ nhất $P_{\min}$ của biểu thức $P = 2 y - x$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

P_{\min} = \frac{1}{4}

P_{\min} = \frac{1}{2}

P_{\min} = \frac{7}{8}

P_{\min} = \frac{15}{8}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Ta có:

2019^{2 (x^{2} - y + 1)} = \frac{2 x + y}{{(x + 1)}^{2}} \Leftrightarrow \frac{2019^{2 (x^{2} + 1)}}{2019^{2 y}} = \frac{2 x + y}{{(x + 1)}^{2}}

\Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} {. 2019}^{2 (x^{2} + 1)} = (2 x + y) {. 2019}^{2 y}

Đặt

u = {(x + 1)}^{2}, v = 2 x + y, (u > 0, v > 0),

khi đó (1) trở thành

u {. 2019}^{2 u} = v {. 2019}^{2 v}

(2)
Xét hàm đặc trưng

f (t) = t {. 2019}^{2 t}, (t > 0)

. Vì

f' (t) = 2019^{2 t} + 2 t {. 2019}^{2 t} . \ln 2019 > 0, \forall t > 0

nên

f (t)

đồng biến trên

(0; + \infty) .

Do đó:

(2) \Leftrightarrow f (u) = f (v) \Leftrightarrow u = v \Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} = 2 x + y \Leftrightarrow y = x^{2} + 1.

Khi đó:

P = 2 y - x = 2 x^{2} - x + 2 = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + \frac{15}{8} \geq \frac{15}{8}, \forall x > 0

và

P = \frac{15}{8}

khi

x = \frac{1}{4}

. Vậy

P_{\min} = \frac{15}{8}

\Rightarrow

Chọn đáp án D

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi