6. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 9 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CHỦ ĐỀ 6: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1. Phương trình vô tỷ cơ bản:
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a)
b)
Lời giải:
a). Phương trình tương đương với:
b). Điều kiện: . Bình phương 2 vế ta được:
. Đối chiếu với điều kiện ta thấy chỉ có là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: Giải các phương trình:
II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ THƯỜNG GẶP
1. Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp:
Dấu hiệu:
+ Khi ta gặp các bài toán giải phương trình dạng:
Mà không thể đưa về một ẩn, hoặc khi đưa về một ẩn thì tạo ra những phương trình bậc cao dẫn đến việc phân tích hoặc giải trực tiếp khó khăn.
+ Nhẩm được nghiệm của phương trình đó: bằng thủ công ( hoặc sử dụng máy tính cầm tay)
Phương pháp:
Đặt điều kiện chặt của phương trình ( nếu có)
Ví dụ: Đối phương trình: .
+ Nếu bình thường nhìn vào phương trình ta thấy:
Phương trình xác định với mọi . Nhưng đó chưa phải là điều kiện chặt. Để giải quyết triệt để phương trình này ta cần đến điều kiện chặt đó là:
+ Ta viết lại phương trình thành:
Để ý rằng: do đó phương trình có nghiệm khi
Nếu phương trình chỉ có một nghiệm :
Ta sẽ phân tích phương trình như sau: Viết lại phương trình thành:
Sau đó nhân liên hợp cho từng cặp số hạng với chú ý:
+
+
+ Nếu có nghiệm thì ta luôn phân tích được
Như vậy sau bước phân tích và rút nhân tử chung thì phương trình ban đầu trở thành:
Việc còn lại là dùng hàm số , bất đẳng thức hoặc những đánh giá cơ bản để kết luận vô nghiệm.
Nếu phương trình có 2 nghiệm theo định lý viet đảo ta có nhân tử chung sẽ là:
Ta thường làm như sau:
+ Muốn làm xuất hiện nhân tử chung trong ta trừ đi một lượng . Khi đó nhân tử chung sẽ là kết quả sau khi nhân liên hợp của
+ Để tìm ta xét phương trình: . Để phương trình có hai nghiệm ta cần tìm sao cho
+ Hoàn toàn tương tự cho các biểu thức còn lại:
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
a)
b)
Giải:
a).
Phân tích: Phương trình trong đề bài gồm nhiều biểu thức chứa căn nhưng không thể quy về 1 ẩn. Nếu ta lũy thừa để triệt tiêu dấu thì sẽ tạo ra phương trình tối thiểu là bậc 6. Từ đó ta nghỉ đến hướng giải : Sử dụng biểu thức liên hợp để tách nhân tử chung.
Điều kiện
Ta nhẩm được nghiệm của phương trình là: . Khi đó
Ta viết lại phương trình thành:
Dễ thấy :
Với điều kiện thì
Nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
b). Điều kiện:
Ta nhẩm được nghiệm của phương trình là: . Khi đó
Từ đó ta có lời giải như sau:
Phương trình đã cho tương đương với:
Để ý rằng: Với điều kiện thì nên
Từ đó suy ra: là nghiệm duy nhất của phương trình.
Nhận xét: Để đánh giá phương trình cuối cùng vô nghiệm ta thường dùng các ước lượng cơ bản: với từ đó suy ra với mọi số thỏa mãn
Ví dụ 2: Giải các phương trình:
a)
b)
Giải:
a). Điều kiện: .
Ta nhẩm được nghiệm . Nên phương trình được viết lại như sau:
Ta dự đoán: ( Bằng cách thay một giá trị ta sẽ thấy )
Ta sẽ chứng minh: và
Thật vậy:
+ Ta xét
Đặt . Bất phương trình tương đương với
. Điều này là hiển nhiên đúng.
+ Ta xét:
. Điều này luôn đúng.
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất:
b.) Điều kiện: .
Để đơn giản ta đặt
Phương trình đã cho trở thành:
Nhẩm được . Nên ta phân tích phương trình thành:
Để ý rằng và nên ta có . Vì vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Nhận xét: Việc đặt trong bài toán để giảm số lượng dấu căn đã giúp đơn giản hình thức bài toán .
Ngoài ra khi tạo liên hợp do nên ta tách nó ra khỏi biểu thức để các thao tác tính toán được đơn giản hơn.
Ví dụ 3: Giải các phương trình:
a)
b)
c) (Tuyển sinh vòng 1 lớp 10 Trường THPT chuyên Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội 2012)
d)
a). Điều kiện:
Ta nhẩm được 2 nghiệm là nên ta phân tích để tạo ra nhân tử chung là: . Để làm được điều này ta thực hiện thêm bớt nhân tử như sau:
+ Ta tạo ra sao cho phương trình này nhận là nghiệm.
Để có điều này ta cần:
+ Tương tự nhận là nghiệm.
Tức là
Từ đó ta phân tích phương trình thành:
Dễ thấy với thì
Nên .
Phương trình đã cho tương đương với
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: .
b). Điều kiện: .
Phương trình được viết lại như sau:
Ta nhẩm được 2 nghiệm nên suy ra nhân tử chung là:
Ta phân tích với nhân tử như sau:
+ Tạo ra sao cho phương trình này nhận là nghiệm. Tức là cần thỏa mãn hệ:
+ Tương tự với ta thu được:
Phương trình đã cho trở thành:
Ta xét
Ta chứng minh: tức là:
. Điều này là hiển nhiên đúng.
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: .
Chú ý:
Những đánh giá để kết luận thường là những bất đẳng thức không chặt nên ta luôn đưa về được tổng các biểu thức bình phương.
Ngoài ra nếu tinh ý ta có thể thấy: Nhưng điều này là hiển nhiên đúng do: với mọi
c). Điều kiện:
Ta nhẩm được nên biến đổi phương trình như sau:
Ta có: khi , khi nên ta trừ 2 vào 2 vế thì thu được:
Giải (1) suy ra
Giải (2) ta có:
Kết luận: Phương trình có nghiệm là
Nhận xét: Ta cũng có thể phân tích phương trình như câu a,b .
d). Ta có: nên phương trình tương đương với
Giải : .
Đặt . Phương trình trở thành:
Kết luận
