Bài tập tích phân vận dụng cao có lời giải chi tiết – Lương Văn Huy là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
1
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO – PHẦN I
Nội dung live – trợ giúp kì thi THPT Quốc Gia 2018.
Bài tập có sưu tập từ nguồn đề của các trường trên toàn Quốc và của các quý thầy cô trong
nhóm Vận Dụng Cao.
File giải chỉ trình bày theo cách tự luận để các em hiểu bản chất. Kỹ thuật tính nhanh và Casio
các em xem ở bài live.
Câu 1: Cho hàm số y f x xác định trên đoạn 0;
2
thỏa mãn
2
2
0
22 2 sin d
4 2
f x f x x x . Tích phân
2
0
d
f x x bằng
A.
4
. B. 0 . C. 1 . D.
2
.
Lời giải
Chọn B
+) Đặt I
2
2
0
2 2 sin d
4
f x f x x x . Ta có
I
2
2 2
0
2 2 sin 2sin d
4 4
f x f x x x x
2
2
0
2sin d
4
x x
I
22
0
2 sin d
4
f x x x
2
2
0
2sin d
4
x x
+) Có
2
2
0
2sin d
4
x x
2
0
1 os 2 d
2
c x x
2
0
1 sin 2 d
x x 20
1 cos2
2 |
x x 2
2
+) Mà I 2
2
suy ra
22
0
2 sin d 0
4
f x x x (1).
+) Áp dụng kết quả: Nếu f x liên tục và không âm trên đoạn ; a b thì d 0
b
a
f x x .
Dấu " " xảy ra khi 0f x với mọi ; x a b .
Từ (1) suy ra 2 sin 0
4
f x x hay 2 sin
4
f x x .
+) Do đó
2
0
d
f x x
2
0
2 sin d
4
x x 202cos 4 |
x 0 . Chọn B.
Câu 2. (Đề tham khảo của BGD năm 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
đoạn 0;1 thỏa mãn 1 0f ,
1 2
0
d 7 f x x và
1
2
0
1d
3
x f x x . Tích phân
1
0
d f x x
bằng
A. 7
5
. B. 1 . C. 7
4
. D. 4 .
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
2
Lời giải
Chọn A
+) Đặt
2d 3 d
u f x
v x x
3
d d
u f x x
v x
, khi đó
1 112 3 3
0
0 0
3 d . d x f x x x f x x f x x
+) Ta có
1
3
0
1 1 d f x f x x suy ra
1
3
0
d 1 x f x x .
+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân
2
2 2d d . d
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x . Dấu
" " xảy ra khi f x kg x với k là hằng số.
Ta có
2
31 d
b
a
x f x x 26 d . d
b b
a a
x x f x x
17
0
7
7
x 1 . Dấu " " xảy ra khi
3 f x kx với k là hằng số. Mà
1
3
0
d 1 x f x x hay
1
6
0
d 1 kx x suy ra 7 k .
+) Vậy 37 f x x nên 47
4
f x x c mà 1 0f nên 47 14 f x x suy ra
1
0
7d
5
f x x . Chọn A.
Câu 3. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 0 1f và
1 1
2
0 0
12 d 3 d
9
f x f x x f x f x x . Tích phân
1
3
0
d f x x bằng
A.
5
4
. B.
3
2
. C.
8
5
. D.
7
6
.
Lời giải
Chọn D
+) Áp dụng bất đẳng thức tích phân phân
2
2 2d . d d
b b b
a a a
f x x g x x f x g x x . Dấu
" " xảy ra khi f x kg x với k là hằng số.
+) Ta có
21 1 1
2
0 0 0
d . d d
x f x f x x f x f x x (1) nên từ giả thiết suy ra
1 1
2
0 0
12 d 3 d
3
f x f x x f x f x x
21
0
13 d
3
f x f x x
Gv : Lương Văn Huy – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404
3
hay
21
0
13 d 0
3
f x f x x
1
0
1d
3
f x f x x và dấu " " ở (1) xảy ra, tức là
ta có
1
0
1d
3
f x f x x
f x f x k
1
3
k . Từ đó tính được 3 3
3
xf x suy
ra
1
3
0
7d
6
f x x . Chọn D.
Câu 4: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 2 3 66 3 1 f x x f x x . Tính
1
0
d f x x
A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 6 .
Lời giải
Chọn B
Ta có tính chất
1 1
0 0
f x dx f f x d f x .
Theo bài ta có : 2 3 66
3 1
f x x f x
x
. Lấy tích phân 2 vế ta được :
1 1 1
2 3
0 0 0
6dd 6 d
3 1
xf x x x f x x
x
1 1 1
2 3 3
0 0 0
6dd 2 d
3 1
xf x x x f x x
x
1 1
0 0
6dd 4
3 1
xf x x
x
.
Câu 5: Cho hàm số ( )f x và ( )g x liên tục có đạo hàm trên và thỏa mãn 0 . 2 0 f f và
( ). ( ) ( 2) xg x f x x x e . Tính giá trị của tích phân
2
0
. ( )d I f x g x x .
A. 4 . B. 2e . C. 4 . D. 2 e .
Lời giải
Chọn C.
Theo đề cho 0 . 2 0 f f suy ra
0 0
2 0
f
f
.
Ta có ( ). ( ) ( 2) xg x f x x x e
nên
(0). (0) 0 (0) 0. g f g
(2). (2) 0 (2) 0. g f g
Đặt
( ) ( )
( ) ( )
u f x du f x dx
dv g x dx v g x
.
2 2 22 2
0 0
0 0 0
. ( )d . ( ) ( ). ( )d . ( ) ( 2) d xI f x g x x f x g x g x f x x f x g x x x e x
