Bài toán cực trị hình học không gian và các khối lồng nhau Trần Đình Cư là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 1
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 2
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Trong quá trình tìm kiếm lời giải nhiều bài toán hình học, sẽ rất có lợi nếu chúng ta xem xét các
phần tử biên, phần tử giới hạn nào đó, tức là phần tử mà tại đó mỗi đại lượng hình học có thể nhận
giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất, chẳng hạn như cạnh lớn nhất, cạnh nhỏ nhất của một tam
giác; góc lớn nhất hoặc góc nhỏ nhất của một đa giác v.v…
Những tính chất của các phần tử biên, phần tử giới hạn nhiều khi giúp chúng ta tìm được lời giải
thu gọn của bài toán.
Phương pháp tiếp cận như vậy tới lời giải bài toán được gọi là nguyên tắc cực hạn.
Như vậy bài toán cực trị hình học là cần thiết trong không gian, nó thường xuất hiện ở những câu
hỏi khó trong phần thi trắc nghiệm THPT Quốc gia.
PHƯƠNG PHÁP
Cơ sở của phương pháp cần kết hợp giữa các quan điểm tìm cực trị như sau:
1. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG
Bất đẳng thức Cauchy cho các biến đại lượng không âm.
2
f x A x B x 2 A x .B x const; x D 1
A x B x
g x A x .B x const; x D 2
2
Nếu 0x D , để đẳng thức trong (1) hoặc (2) xảy ra 0 0A x B x
0
x D
0
x D
min f x f x
maxg x g x
(ycbt)
Bất đẳng thức Schwartz cho các biến đại lượng tùy ý.
2 2 2 2
22 2 2 2
p x a x . x b x . x a x b x x x const; x D 3
q x a x b x x x a x x b x x const; x D 4
Nếu 0x D , để đẳng thức trong (3) hoặc (4) xảy ra:
0
0 0 x D
0 0 0
x D
max p x p xa x b x
x x min q x q x
(ycbt)
2. SỬ DỤNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
h x sinu x .cosu x 1 ;
nếu
00 0
x D
0
sin u x 1
x D : max h x h x 1
cos u x 1
3. SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ LẬP BẢNG BIẾN THIÊN
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 3
4. SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ HÌNH HỌC CỰC HẠN
MH laø ñöôøng vuoâng goùc
MA laø ñöôøng xieân
HA laø hình chieáu
minMA MH A H
Từ ý nghĩa đường kính là dây cung dài nhất của đường tròn, ta có:
Hệ quả: M ở trên đường tròn (AB) đường kính AB; với O là tâm
thì: maxd M;AB CO MH CO;CO AB
Khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường thẳng là độ dài đường
vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Xác định điểm M trên đường thẳng (d) để
min
MA MB
Đây là bài toán Bất đẳng thức , cần phân biệt các trường hợp:
o A, B ở khác bên so với (d):
MA MB AB
0
min MA MB AB
töông öùng: M M AB d
o A, B ở cùng bên so với (d):
Dựng A’ đối xứng với A qua (d).
Lúc đó: A’ và B ở khác bên so với (d), nên trở về
trường hợp trên:
MA MB AB MA' MB' AB
0
min MA MB min MA' MB AB
töông öùng: M M A' B d
Kết luận: Vậy trong mọi trường hợp ta xác định được M thỏa mãn ycbt.
Xác định điểm M trên đường thẳng (d) để
max
MA MB
Tương tự, cần phân biệt hai trường hợp:
o A, B ở cùng bên so với (d)
MA MB AB
max MA MB AB
tương ứng 0M M AB d
o A, B ở khác bên so với (d)
(d)M0
A
B
M
(d)M0
A
B
M
(d)
I M0
A'
A
B
M
M
H A
C
HOA B
M
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế. SĐT: 01234332133 Page 4
MA MB MA' MB AB
Với A’ là hình đối xứng của điểm A qua (d), thì A’ và B ở cùng
phía với (d).
0
max MA MB max MA' MB AB
töông öùng M M A' B d
Kết luận: Vậy trong mọi trường hợp ta đã xác định điểm M thỏa ycbt.
I. MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Cho một hình nón cụt tròn xoay có chiều cao h, các bán kính đáy là r và R r R .
Tìm kích thước của hình trụ tròn xoay có cùng trục đối xứng, nội tiếp trong hình nón cụt
đó và có thể tích lớn nhất.
Giải
Gọi x là bán kính, z là chiều cao của hình trụ. Ta có:
r x R
0 z h
Giả sử rằng hình trụ nội tiếp trong hình nón cụt như thiết diện qua trục như hình bên.
Thiết diện này cắt hình nón theo hình thang cân AA’B’B, cắt hình trụ theo hình chữ nhật
HKNM.
1 1 2 1
SO' O'A' r
SO OA R
SO' r SO'
SO SO' R r OO'
rh rh Rh
SO' , SO h
R r R r R r
O M SO SO OA SOx
x
OA SO OA SO SO
Mà
1
R SO z
SO SO z x
SO
Thể tích V hình trụ là:
2
22
2
R
V V x x z . SO z z
SO
2
2 2
2
2
3 2 2
2
R
V x SO z 2SO.z z
SO
R
V x z 2SO.z SO z 0 z h
SO
(d)M0
A'
