Chương 1 KHỐI ĐA DIỆN Mức độ 3 Phần 3 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 1 năm 2017-2018) Xét tứ diện có các cạnh và thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi lần lượt là trung điểm của . Đặt .
Ta có .
Ta có , , .
.
Câu 2: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho khối lăng trụ tam giác . Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Mặt phẳng chia khối lăng trụ thành hai phần. Gọi là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh và là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là trung điểm của và , , lần lượt là thể tích khối lăng trụ khối lăng trụ và thể tích khối chóp . Khi đó .
Lại có ; suy ra từ đó ta có . Vậy .
Câu 3: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Xét tứ diện có các cạnh và , thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi , lần lượt là trung điểm và .
Theo giả thiết ta có: và là các tam giác cân có là trung điểm của nên và . Và có cân tại..
Trong tam giác có vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên
.
Khi đó diện tích tam giác là
Thể tích tứ diện là .
Đặt , ta có: .
Ta có: .
Do đó: . Dấu bằng xảy ra khi .
Ta lại có: .
Dấu bằng xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện là .
Câu 4: (SGD Bà Rịa Vũng Tàu-đề 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, , , và . Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Do đó vuông tại .
Gọi là trung điểm của cạnh thì là tâm đường tròn ngoại tiếp .
Gọi là trung điểm của cạnh .
Ta có mà .
Do đó là trục đường tròn ngoại tiếp .
Như vậy .
Câu 5: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh bằng , tam giác cân tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hợp với đáy một góc , là trung điểm của Tính thể tích khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trung điểm của . Theo bài ra .
. Xét tam giác ta có .
Diện tích tam giác là .
. .
Câu 6: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Cho điểm nằm trên cạnh , điểm nằm trên cạnh của hình chóp tam giác sao cho , Mặt phẳng qua và song song với chia khối chóp thành 2 phần. Gọi là thể tích của khối đa diện chứa , là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn B
Trong mặt phẳng dựng song song với cắt tại . Trong mặt phẳng dựng song song với cắt tại Gọi là giao điểm của và . Dựng song song với cắt tại (như hình vẽ).
Ta thấy:
Suy ra là trung điểm của và , đồng thời
Do
Nhận thấy:
Do
Và
.
Vậy
Câu 7: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh .Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với đáy, biết . Gọi , , , lần lượt là trung điểm các cạnh , , , . Tính thể tích khối chóp .(Gõ thiếu yêu cầu đề bài)
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi . Dễ thấy .
Mặt khác do nên .
Dựng . Do nên .
Suy ra .
Ta có: ;
Suy ra:.
Mặt khác do nên suy ra tứ giáclà hình chữ nhật.
Vậy .
Câu 8: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác đều , là trung điểm của . Mặt phẳng qua và song song với cắt , tại , . Tính tỉ số thể tích của khối và khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là tâm hình vuông , là trọng tâm
. Ta có
Tương tự .
Từ đó .
Câu 9: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Cho khối hộp có đáy là hình chữ nhật với ; . Hai mặt bên và cùng tạo với đáy góc , cạnh bên của hình hộp bằng (hình vẽ). Thể tích khối hộp là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng ;
kẻ , thì và
Theo giả thiết, ta có
tứ giác là hình vuông cạnh ,
Tam giác vuông cân tại có
Tam giác vuông tại có
.
Khi đó .
Câu 10: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp có , , đôi một vuông góc với nhau và . của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Trong tam giác kẻ đường cao và và nên là trực tâm tam giác .
Ta có hay
Mà nên . Chứng minh tương tự ta được . Vậy .
Ta có là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Ta có tam giác vuông tại nên . Mặt khác tam giác vuông tại nên . Suy ra .
.
Câu 11: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện đều có cạnh bằng . là một điểm thuộc miền trong của khối tứ diện tương ứng. Tính giá trị lớn nhất của tích các khoảng cách từ điểm đến bốn mặt của tứ diện đã cho.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi , , , là khoảng cánh từ điểm đến bốn mặt của tứ diện.
Gọi là diện tích một mặt của tứ diện.
Đường cao của tứ diện là .
Thể tích của tứ diện là .
Mặt khác, ta có .
Lại có .
Câu 12: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng . Tính thể tích của khối chóp đã cho theo .
A. . B
