Chương 1 KHỐI ĐA DIỆN Mức độ 3 Phần 4 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với đáy, . Một mặt phẳng đi qua vuông góc với cắt , , lần lượt tại , , . Thể tích khối chóp là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Dựa vào giả thiết ta có , , lần lượt là hình chiếu của lên , , .
Tam giác vuông cân tại nên là trung điểm của .
Trong tam giác vuông ta có .
Tương tự ta có .
.
Vậy .
Chú ý: Chứng minh như sau: , mà nên
Tương tự cho
Câu 2: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Số mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Có mặt phẳng cách đều tất cả các đỉnh của một hình lăng trụ tam giác: , , , (với , , , , , , , , lần lượt là trung điểm của , , , , , , , , ) như hình vẽ sau:
Câu 3: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho khối tứ diện đều có thể tích là . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của , , , . Thể tích khối chóp là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có (do là hình thoi),
Mặt khác do là trung điểm của nên , đồng thời
.
Câu 4: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều có góc giữa hai mặt phẳng và bằng , cạnh . Tính thể tích của khối lăng trụ .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi là trung điểm của suy ra
Ta có
Mặt khác
Từ , , suy ra .
Vì tam giác đều nên và .
Ta có .
Vậy .
Câu 5: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Cho tứ diện và hai điểm , lần lượt thuộc các cạnh , sao cho , . Mặt phẳng đi qua hai điểm , và song song với cạnh , cắt , lần lượt tại , . Tính tỉ số thể tích .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Chia khối đa diện bởi mặt phẳng được hai khối chóp và . Vì song song với nên .
Ta có:
.
.
Suy ra .
Câu 6: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Cho hình chóp đều có . Gọi lần lượt là trung điểm của hai cạnh. Tính thể tích khối chóp , biết đường thẳng vuông góc với đường thẳng.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Giả sử cạnh đáy có độ dài ; . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
; ; ; ; ; ; .
Lại có .
Vậy .
Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh . Khoảng cách từ tâm của tam giác đến mặt phẳng bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh . Khoảng cách từ tâm của tam giác đến mặt phẳng bằng . Thể tích khối lăng trụ bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm của và là hình chiếu của trên .
Ta có (1)
Mà
Từ (1) và (2).
Ta có (do tính chất trọng tâm).
.
Xét tam giác vuông : .
Suy ra thể tích lăng trụ là: .
Câu 9: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của cạnh . Biết thể tích của khối chóp bằng . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 10: Cho khối chóp có đáy là tứ giác lồi, tam giác đều cạnh , tam giác cân tại và . và . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với cắt các cạnh , , lần lượt tại , , . Tính thể tích khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Câu 11: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của cạnh . Biết thể tích của khối chóp bằng . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Gọi là trung điểm tại .
Ta lại có .
. Suy ra theo giao tuyến . Trong , kẻ thì .
Ta có: .
Tam giác có .
Câu 12: Cho khối chóp có đáy là tứ giác lồi, tam giác đều cạnh , tam giác cân tại và . và . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với cắt các cạnh , , lần lượt tại , , . Tính thể tích khối chóp .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là trọng tâm tam giác đều và là trung điểm thì ; .
Tam giác vuông có , và .
và đối xứng nhau qua đường thẳng .
Khi đó
Mà nên
Do đó
Lại có
Tam giác vuông tại có
Tam giác có ; và
tam giác vuông tại ;
Lại có tam giác vuông nên là trung điểm
Mà nên
Mặt khác
. Suy ra .
Khi đó . Do đó .
Vậy .
Câu 13: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi,, , lần lượt là trọng tâm các tam giác , , , . Gọi là điểm bất kỳ trên mặt đáy . Biết thể tích khối chóp bằng . Tính thể tích khối .
A. . B.. C. . D..
Lời giải
Chọn B
Ta có, diện tích .
Đường cao của khối là .
Suy ra .
Câu 14: Cho khối chóp tứ giác . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác , , chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là và . Tính tỉ lệ .
A. . B. . C. . D. .
Câu 15: Cho khối chóp tứ giác . Mặt phẳng đi qua trọng tâm các tam giác , , chia khối chóp này thành hai phần có thể tích là và . Tính tỉ lệ .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi , , lần lượt là trọng tâm các tam giác , , .
Gọi , lần lượt là trung điểm của , thì
.
Chứng minh tương tự ta có .
Suy ra .
Qua dựng đường song song với , cắt , lần lượt tại , .
Qua dựng đường song song với , cắt tại .
Qua dựng đường song song với , cắt tại .
Thiết diện của hình chóp khi cắt bới là tứ giác .
Ta có (1)
Tương tự ta cũng
