Chương 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Mức độ 3 Phần 3 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm . Mặt phẳng đi qua và cắt chiều dương của các trục , , lần lượt tại các điểm , , thỏa mãn . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Giả sử , , với . Khi đó mặt phẳng có dạng . Vì đi qua nên .
Mặt khác nên nên .
Thể tích khối tứ diện là .
Ta có .
khi .
Câu 2: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai mặt cầu ; cắt nhau theo một đường tròn nằm trong mặt phẳng . Cho các điểm , , . Có bao nhiêu mặt cầu tâm thuộc và tiếp xúc với cả ba đường thẳng , , ?
A. mặt cầu. B. mặt cầu. C. mặt cầu. D. mặt cầu.
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng chứa đường tròn có phương trình là: .
Mặt phẳng có phương trình là: .
Do đó .
Mặt cầu tiếp xúc với cả ba đường thẳng , , sẽ giao với mặt phẳng theo một đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng , , . Trên mặt phẳng có đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng , , đó là đường tròn nội tiếp tam giác và ba đường tròn bàng tiếp các góc , , . Do đó có mặt cầu có tâm nằm trên và tiếp xúc với cả ba đường thẳng , , . Tâm của 4 mặt cầu là hình chiếu của tâm đường tròn tiếp xúc với ba đường thẳng , , lên mặt phẳng .
Câu 3: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 2 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và mặt cầu . Mặt phẳng đi qua và cắt theo thiết diện là đường tròn có diện tích nhỏ nhất. Bán kính đường tròn là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Ta có nên nằm trong mặt cầu .
Đặt là khoảng cách từ đến mặt phẳng , là bán kính đường tròn . Khi đó:
và khi và chỉ khi .
.
Đường tròn có diện tích nhỏ nhất nên .
Câu 4: (THPT Lý Thái Tổ-Bắc Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho , , , . Gọi là mặt cầu tâm bán kính bằng , là mặt cầu tâm bán kính bằng Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với 2 mặt cầu , đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm , .
A. . B. . C. . D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Gọi là vtpt của mp cần tìm.
TH1: , chọn .Khi đó .
. Vì .
Ptmp: .
.
Với ta có ptmp: : T/m vì song song với
Với ta có ptmp: : Loại vì chứa điểm .
TH2: . Khi đó . Vì .
Phương trình mặt phẳng .
Không tồn tại mp.
KL:Có một mặt phẳng thỏa mãn ycbt
Cách 2: Ta có mà nên hai mặt cầu cắt nhau theo một đường tròn giao tuyến.
Gọi với là mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Hạ vuông góc với mặt phẳng .
Khi đó ta có nằm ngoài và là trung điểm vì .
Suy ra .
Gọi .
Vì mà nên ta có
Khi đó
.
Ta có hai trường hợp:
Câu 5: ;
Mặt khác nên loại trường hợp trên.
Câu 6: ;
Kiểm tra thấy nên nhận trường hợp này.
Vậy .
Câu 7: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , và . Biết điểm nằm trên sao cho có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là điểm sao cho .
Khi đó .
Nên có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ngắn nhất, khi đó là hình chiếu vuông góc của trên . Do đó .
Vậy .
Câu 8: (THPT Kinh Môn-Hải Dương lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian cho các mặt phẳng , . Gọi là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng và cắt mặt phẳng theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng . Xác định sao cho chỉ có đúng một mặt cầu thỏa yêu cầu.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là tâm mặt cầu có bán kính , , là các khoảng cách từ đến và . Ta có và
Theo đề ta có .
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình có đúng một nghiệm m .
Câu 9: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt cầu , mặt phẳng . Gọi là mặt phẳng vuông góc với , song song với giá của véctơ và tiếp xúc với . Lập phương trình mặt phẳng .
A. và . B. và .
C. và . D. và .
Lời giải
Chọn C
có tâm và bán kính . Véc tơ pháp tuyến của là .
Suy ra VTPT của là .
Do đó có dạng: .
Mặt khác tiếp xúc với nên
Hay .
Vậy PTMP : và .
Câu 10: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và các điểm , . Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm , sao cho thiết diện của với mặt cầu có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình dưới dạng . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Mặt cầu có tâm bán kính là .
Ta có , nằm trong mặt cầu. Gọi là hình chiếu của trên và là hình chiếu của lên thiết diện.
Ta có diện tích thiết diện bằng . Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi lớn nhất. Mà suy ra qua và vuông góc với .
Ta có suy ra là trung điểm của . Vậy và .
Vậy .
Vậy .
Câu 11: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho tứ diện ( là gốc tọa độ), , , và mặt phẳng có phương trình: . Thể tích khối tứ diện bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: , , .
Thể tích khối tứ diện là (đvtt).
Câu 12: (THPT Hồng Lĩnh-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và mặt cầu . Số mặt phẳng chứa hai điểm , và tiếp xúc
