Chương 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Mức độ 3 Phần 4 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính . Người ta trải ra vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần còn lại là một khối trụ có đường kính . Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Bề dày của tấm đề can là: .
Gọi là chiều dài đã trải ra và là chiều rộng của tấm đề can. Khi đó ta có:
.
Cách 2: Chiều dài của phần trải ra là tổng chu vi của đường tròn có bán kính là một cấp số cộng có số hạng đầu bằng , công sai là .
Do đó chiều dài là .
Câu 2: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho các mặt cầu , , có bán kính và lần lượt có tâm là các điểm , , . Gọi là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên. Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có , , nên tam giác vuông tại . Gọi là trung điểm của , khi đó . Do đó mặt cầu thỏa mãn đề bài là mặt cầu có bán kính .
Câu 3: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng có phương trình . Gọi là mặt phẳng đi qua điểm , song song với đường thẳng và khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Tọa độ của là nghiệm của hệ .
Ta có . Nên khoảng cách từ đến đạt giá trị lớn nhất bằng khi mặt phẳng qua và vuông góc với . Khi đó có thể chọn VTPT của là . Vậy vuông góc với mặt phẳng .
Câu 4: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes , cho điểm và đường thẳng . Mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là hình chiếu của đến . Khi đó .
Do . Khi đó .
Mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ đến lớn nhất khi .
Do đó có vectơ pháp tuyến là .
Vậy .
Câu 5: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Trong không gian cho ba điểm , , . Điểm thuộc mặt phẳng sao cho đạt giá trị nhỏ nhất là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Lấy là trọng tâm của tam giác .
Ta có:
.
Do đó bé nhất khi bé nhất là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng .
Vậy .
Câu 6: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Descartes , cho điểm và hai đường thẳng , . Phương trình đường thẳng đi qua , cắt cả và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là đường thẳng cần tìm.
; .
; .
Ta có: thẳng hàng.
.
Đường thẳng đi qua , một VTCP là có phương trình là:
.
Câu 7: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm , , . Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm , , là một đường thẳng có phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm , , là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác , mà , nên tam giác vuông tại . Do đó đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng tọa độ tại trung điểm của .
Suy ra vectơ chỉ phương của nó cùng phương với vectơ đơn vị trên trục là .
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm .
Câu 8: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho điểm và mặt phẳng : . Tính bán kính của mặt cầu , biết rằng có tâm và nó cắt theo một đường tròn có chu vi bằng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Đường tròn có bán kính .
Mặt cầu cắt mặt phẳng theo một đường tròn nên có bán kính:
.
Câu 9: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng , đường thẳng và điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cắt và song song với mặt phẳng .
A.. B..
C.. D..
Lời giải
Chọn A
Ta có một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Gọi thì.
Do đường thẳng song song với mặt phẳng nên ta có .
Với thì một véc tơ chỉ phương của đường thẳng là .
Vậy phương trình đường thẳng là .
Câu 10: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm . Số mặt phẳng đi qua và cắt các trục , , tại , , sao cho (, , không trùng với gốc tọa độ ) là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi , , , có dạng , .
Do .
Xét các trường hợp
+ : .
+ :.
+ :.
+ :.
Vậy có mặt phẳng thỏa ycbt.
Câu 11: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và mặt phẳng . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua , song song với mặt phẳng sao cho khoảng cách từ đến nhỏ nhất.
A. . B. .
C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi mặt phẳng là mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng . Khi đó phương trình của mặt phẳng là .
Gọi là hình chiếu của điểm lên mặt phẳng , khi đó đường thẳng đi qua và nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là .
Vì và nên ta có .
.
Gọi là hình chiếu của lên đường thẳng , khi đó
Ta có nên khoảng cách từ đến nhỏ nhất khi , do đó đường thẳng đi qua và có vectơ ch
