Một số công thức tính bán kính mặt cầu Trần Lê Quyền là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Trần Lê Quyền
Trần Lê Quyền1 — Casiotuduy
Một số công thức tính bán kính mặt cầu
25–04–2017
Nhận xét 1. Xét hình chóp S.ABC, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O và
bán kính Rd. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, ta có các trường hợp
sau:
(1) Nếu SA⊥(ABC) thì
R =
√
SA2
4
+R2d (1)
(2) Nếu SA = SB = SC thì
R =
SA2
2SO
(2)
(3) Nếu (SAB)⊥(ABC) và bán kính đường tròn ngoại tiếp 4SAB bằng Rb thì
R =
√
d(O,AB)2 +R2b . (3)
Chứng minh. (1) và (2) đơn giản. (3) Gọi I là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC và K là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác SAB. Ta có IO⊥(ABC) và IK⊥(SAB). Xét tam
giác IAK, ta có
IA =
√
IK2 + AK2 =
√
d(O,AB)2 +Rb
2.
Để ý rằng OI ‖ (SAB) nên IK = d(O, (SAB)) = d(O,AB).
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,BC = 2a.
Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a
√
3. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABC.
Giải. Để áp dụng (1), chỉ cần tính được bán kính đáy Rd. Vì đáy là tam giác vuông tại B nên
Rd =
BC
2 =
a
√
5
2 . Vậy bán kính cần tìm bằng
√
SA2
4 +R
2
d = a
√
2.
Ví dụ 2. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a.
Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho
1Nhận luyện thi theo nhóm khu vực Q6, TP.HCM 01226678435
1 0122 667 8435
Trần Lê Quyền
Giải. Mặt cầu đã cho cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A′.ABC, nên với A′A⊥(ABC) ta
có thể áp dụng
R =
√
A′A2
4
+R2d =
√
a2 +
(
2a√
3
)2
=
a
√
21
3
.
Diện tích mặt cầu là 4πR2 =
28πa2
3
.
Ví dụ 3. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc. Biết rằng OA = a,OB =
b, OC = c, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Giải. Ta có AO⊥(OBC) nên có có thể áp dụng (1),
R =
√
OA2
4
+R2d =
1
2
√
OA2 +OB2 +OC2.
Công thức này cho phép xây dựng một số bài toán thú vị liên quan đến tứ diện vuông.
Chẳng hạn
BT 1. Cho tứ diện OABC có A,B,C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA,OB,OC đôi một
vuông góc và 2OA+OB+OC = 3. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC
là
A.
√
6
4
B.
√
2
2
C.
3
√
3
8
D.
3
4
BT 2. Cho ba tia Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz,
đặt OC = 1; các điểm AB, thay đổi trên OxOy, sao cho OA + OB = OC. Tìm giá trị bé
nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
A.
√
6
3
B.
√
6 C.
√
6
4
D.
√
6
2
Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a√
3
.
Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.BCD.
Giải. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, ta có SH⊥(ABC).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD bằng AH = a√
3
.
Trong khi ta có DH = 2AH, thế nên H thuộc đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCD. Vậy có thể áp dụng (1),
R =
√
SH2
4
+R2d =
a
√
21
6
.
Như vậy, có thể ‘nới rộng’ điều kiện áp dụng của (1), đó là khi hình chiếu của đỉnh S
2 0122 667 8435
Trần Lê Quyền
‘rơi’ trên đường tròn ngoại tiếp đáy.
Ví dụ 5. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh
bằng a.
Giải. Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng
a. Vì các hình chóp S.ABCD và S.ABC có cùng mặt cầu ngoại tiếp
nên với SA = SB = SC ta có thể áp dụng (2) để có
R =
SA2
2SO
Ta có SO =
√
SA2 −OA2 =
√
a2 − a22 =
a√
2
suy ra R = a√
2
. Vậy
thể tích khối cầu bằng 43πR
3 = πa
3
√
2
3 .
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 1. Hình chiếu của đỉnh
S lên mặt đáy trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết rằng bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 23 . Tính thể tích khối chóp.
Giải. Vì S cách đều A,B,C nên có thể áp dụng (2). Ta có các liên hệ
SA2 = SO +
1
3
SA2
2SO
=
2
3
Giải hệ này thu được SO = 1, vậy thể tích khối chóp đã cho là
√
3
12 .
Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với (SAC) một
góc 30◦. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Giải. Áp dụng (3), ta cần tính bán kính Rb của đường tròn ngoại tiếp
4SAB và d(O,AB) với O là trung điểm của BC. Vì 4SAB đều nên
có ngay Rb =
1√
3
(cho a = 1).
Gọi H là trung điểm cạnh AB, theo giả thiết ta có SH⊥(ABC). Dễ
có d(B, (SAC)) = 2d(H, (SAC)) =
√
3
2 và
d(B; (SAC)) = BC sin 30◦ ⇒ BC =
√
3.
Từ đây suy ra AC =
√
2 và do đó d(O;AB) = AC2 =
1√
2
. Vậy bán kính
cần tìm
R =
√
R2b + d(O,AB)
2 =
√
5
6
.
Ví dụ 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AC = a. Mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm
3 0122 667 8435
Trần Lê Quyền
của cạnh BC và E là điểm đối xứng của D qua A. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABE.
A.
a
√
21
6
B.
a√
3
C.
2a√
3
D.
a
2
Giải. Gọi H là trung điểm của cạnh AB, vì (SAB)⊥(ABC) nên ta
có SH⊥(ABC). Đối với hình chóp S.ABE, ta có thể áp dụng (3),
R =
√
R2b + d(O, (AB))
2.
• Với O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác EAB, tuy nhiên
không cần thiết xác định vị trí của O, vì ta có
d(O,AB)2 = R2d −
AB2
4
=
(
a
√
5
2
)2
− a
4
= a.
• Rb là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều SAB, tức là
Rb =
