Chương 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Mức độ 4 Phần 3 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Lê Quý Đôn-Hà Nội năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ cho ba mặt phẳng: , , . Một đường thẳng thay đổi cắt ba mặt phẳng , , lần lượt tại , , . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có và ba mặt phẳng , , đôi một song song với nhau.
Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên các mặt phẳng , , ta có:
.
.
Do nên đặt .
Ta có ; .
Nên:
.
Do đó khi .
----------HẾT----------
Câu 2: (THPT Phan Châu Trinh-DakLak-lần 2 năm 2017-2018) Trong không gian tọa độ cho hai điểm , . Biết là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác . Tính
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có: , .
Lại có: , .
Gọi là chân đường phân giác trong góc thuộc đoạn .
Theo tính chất của phân giác trong ta có:
.
Tam giác có diện tích , nửa chu vi
là bàn kính đường tròn nội tiếp; chiều cao .
Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thuộc đoạn .
Ta có: hay .
Vậy .
Câu 3: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 2 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ cho các điểm , , , . Có tất cả bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua trong điểm , , , , ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta thấy , , lần lượt thuộc các trục tọa độ , , . Phương trình mặt phẳng là . Rõ ràng .
Ta cũng có và nên , suy ra nằm trên đường thẳng .
Bởi vậy, có mặt phẳng phân biệt đi qua trong điểm , , , , là , , , và .
Câu 4: (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng . Trong lấy điểm và xác định điểm thuộc đường thẳng sao cho . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Điểm luôn thuộc mặt cầu có phương trình .
B. Điểm luôn thuộc mặt cầu có phương trình .
C. Điểm luôn thuộc mặt phẳng có phương trình .
D. Điểm luôn thuộc mặt phẳng có phương trình .
Lời giải
Chọn B
Vì , , thẳng hàng và nên , do đó .
Gọi , khi đó .
Vì nên
.
Câu 5: (THPT Lê Quý Đôn-Quãng Trị-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian , cho điểm , và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm trên đường thẳng để đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi là trung điểm của , ta có .
Khi đó:
.
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi có độ dài ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng .
Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng là
hay .
Phương trình tham số của đường thẳng là .
Tọa độ điểm cần tìm là nghiệm của hệ phương trình:
. Vậy .
Câu 6: ----------HẾT----------(THPT Phan Đình Phùng-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình vuông biết , và điểm có hoành độ âm. Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ . Khi đó đường thẳng là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông có phương trình
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có . Hay có véc-tơ chỉ phương .
Mặt phẳng có một véc-tơ pháp tuyến: , hay là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Vì nên .
Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương là .
Phương trình đường thẳng là .
Do đó .
Mặt khác .
Vì điểm có hoành độ âm nên .
Vì tâm của hình vuông là trung điểm , nên .
Đường thẳng là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông có véc-tơ pháp tuyến là , nên phương trình đường thẳng là .
Câu 7: (THPT Đức THọ-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , xét tứ diện có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và khác phía với so với đồng thời lần lượt là giao điểm của các trục và (với ). Tìm khoảng cách ngắn nhất từ tâm mặt cầu ngoại tiếp I của tứ diện đến
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Dựng hình hộp chữ nhật. Gọi là giao điểm các đường chéo của hình hộp, dễ thấy chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Ta có suy ra
Bán kính .
Câu 8: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 4 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng , đường thẳng và mặt cầu . Một đường thẳng thay đổi cắt mặt cầu tại hai điểm , sao cho . Gọi , là hai điểm lần lượt thuộc mặt phẳng sao cho , cùng song song với . Giá trị lớn nhất của biểu thức là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Gọi là trung điểm của thì và nên thuộc mặt cầu tâm bán kính .
Gọi là trung điểm của thì , nằm trên mặt phẳng .
Mặt khác ta có nên cắt mặt cầu và . Gọi là hình chiếu của lên thì .
Vậy để lớn nhất thì lớn nhất
đi qua nên .
Vậy lớn nhất bằng .
Câu 9: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Trong không gian , cho mặt cầu có tâm có bán kính bằng và mặt cầu có tâm có bán kính bằng . là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu , . Đặt , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm đến . Giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Giả sử tiếp xúc với , lần lượt tại và .
Gọi . Do nên là trung điểm của . Suy ra .
Gọi với là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Ta có: .
Và: .
Ta có: .
Đặt . Ta có: .
Thay vào , ta được .
Để phương trình có nghiệm với ẩn thì
.
và . Vậy .
Cách 2: Do nên 2 mặt cầu cắt nhau.
Giả sử cắt tại ta có là trung điểm của
Suy ra Khi đó
Mặt khác
Do đó chọn
Đặt
Mặt khác
Câu 10: (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ
