Chương 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Mức độ 4 Phần 4 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , , , và điểm tùy ý. Tính độ dài đoạn khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có , , nên tứ diện là tứ diện vuông đỉnh . Giả sử .
Ta có , .
, .
Do đó .
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng , khi và chỉ khi .
Khi đó suy ra .
Câu 2: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , và mặt phẳng . Gọi thuộc sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi là điểm thỏa mãn (*).
Ta có: , và .
Từ (*) ta có hệ phương trình: .
Khi đó: .
.
.
Do đó: .
Do không đổi nên đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi đạt giá trị nhỏ nhất. Tức là là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Vectơ chỉ phương của là .
Phương trình tham số của là: , .
Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng .
Khi đó: .
Suy ra: . Vậy .
Câu 3: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và đường thẳng . Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua
, vuông góc với đường thẳng đồng thời cách điểm một khoảng bé nhất.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi là mp đi qua và vuông góc với , khi đó chứa .
Mp qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:
.
Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và . Khi đó: nên
khi . Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương nên
có phương trình tham số: .
.
.
Vậy .
Câu 4: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và điểm . Hai điểm , di động trên đường thẳng sao cho mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Gọi điểm là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng . Biết rằng quỹ tích các điểm là đường tròn cố định, tính bán kính đường tròn này.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
+ Ta có: một véctơ chỉ phương của đường thẳng là . Suy ra .
+ Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng
. Do nên .
+ Suy ra và nên
.
Do đó ta có: .
Vậy thuộc mặt cầu đường kính .
+ Gọi là trung điểm
Phương trình mặt cầu
+ Mặt khác . Mặt phẳng có một véctơ pháp tuyến là .
Phương trình mặt phẳng : .
+ Vậy thuộc đường tròn cố định là đường tròn , giao tuyến của mặt cầu và .
có bán kính , với và .
Câu 5: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm thuộc mặt cầu và ba điểm , ;. Biết rằng quỹ tích các điểm thỏa mãn là đường tròn cố định, tính bán kính đường tròn này.
A. . B. C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Mặt cầu có tâm , bán kính .
Gọi ta được
.
.
Ta có: .
.
Suy ra thuộc mặt cầu tâm , bán kính .
Nên là đường tròn có tâm là trung điểm của đoạn (do ).
Vậy bán kính của đường tròn : .
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình là phương trình của một mặt cầu sao cho qua hai điểm , có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình là phương trình của một mặt cầu sao cho qua hai điểm , có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Đặt
Ta có , , , .
là phương trình mặt cầu khi
.
mặt cầu có tâm , bán kính .
TH1: là và có bán kính và , , không thẳng hàng.
, .
TH2: cách một khoảng lớn nhất, đồng thời .
Gọi , là hình chiếu của lên và , ta có
,
Ta có
Vậy có hai giá trị của thỏa ycbt.
Câu 8: Trong không gian , cho mặt cầu và hai điểm , . Gọi là tập hợp các điểm để đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng là một đường tròn bán kính . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Với tùy ý, ta có . Do đó, .
Khi đó, ta có
.
Ta được hệ
(Lấy PT thứ nhất trừ theo vế cho PT thứ hai ta được )
Do đó thuộc đường tròn là giao tuyến của và .
Ta có: có tâm , bán kính .
Ta có nên đường tròn có bán kính .
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm , , và mặt phẳng . Biết rằng tồn tại điểm trên tia , điểm trên và điểm trên tia sao cho tứ giác là hình thoi. Tọa độ điểm là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm , , và mặt phẳng . Biết rằng tồn tại điểm trên tia , điểm trên và điểm trên tia sao cho tứ giác là hình thoi. Tọa độ điểm là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Ta có ; . Gọi là điểm sao cho , khi đó thuộc tia và .
Ta cũng có ; . Gọi là điểm sao cho , khi đó thuộc tia và .
Do là hình thoi nên suy ra cùng hướng với , hay là một véc-tơ chỉ phương của đường thẳng . Phương trình đường thẳng là .
Tọa độ điểm ứng với là nghiệm phương trình: .
Do đó .
Cách 2: , .
, .
Chọn điểm , và , . Khi đó tam giác cân tại . Do tứ giác là hình thoi nên tam giác cân tại . Suy ra và song song.
Ta có .
Cần có Với , ta có .Thử đáp án thấy B thỏa mãn.
Câu 11: Trong không gian , ch
