Chương 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC Mức độ 4 Phần 1 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật , , . Điểm là trung điểm cạnh . Một tứ diện đều có hai đỉnh và nằm trên đường thẳng , hai đỉnh , nằm trên đường thẳng đi qua điểm và cắt đường thẳng tại điểm . Khoảng cách bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Do tứ diện đều nên ta có hay .
Ta có:
Và
Khi đó, . Vậy
Vậy là điểm trên sao là trung điểm của .
Do đó .
Câu 2: (THPT Chuyên ĐH Vinh-GK1-năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều có Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và
A. B. C. D.
Lời giải
Chọn D
Xét hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với ; trục nằm trên ; trục nằm trên ; trục vuông góc với và nằm trên mặt phẳng .
Khi đó tọa độ các đỉnh lăng trụ như hình vẽ.
Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
Với .
Câu 3: ;.(THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình hộp có tất cả các cạnh đều bằng và các góc phẳng đỉnh đều bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có và .
Khi đó , và đều cạnh bằng .
. Suy ra hình chiếu của lên là tâm H của đều.
Ta có .
Dựng hình bình hành . Từ kẻ , ta có .
Từ kẻ .
Ta có: , .
Xét tam giác : .
Câu 4: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và và có , , có vuông góc với đáy và . Gọi , lần lượt là trung điểm của và . Tính của góc giữa và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Cách 1.
Xác định giao điểm của và :
Chọn mp chứa là mp
Giao tuyến (với
Trong gọi , suy ra .
Xác định góc :
- Ta có ; ; vuông tại mà nên
- Góc
Tính góc :
Ta có .
Ta có là trung điểm và là trung điểm suy ra là trọng tâm
Gọi trung điểm suy ra do đó vuông tại . do đó .
Từ đó suy ra
Cosin của góc : .
Cách 2. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó: .
chọn cùng phương với .
Do với là trung điểm của nên tam giác vuông tại .
Vì nên là vtpt của mp
Chọn cùng phương với .
Gọi là góc giữa và mp .
Ta có: .
Câu 5: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và có . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với . Lấy thuộc sao cho . Khoảng cách giữa hai đường và là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Cách 1. Gọi là trung điểm của suy ra
Trong từ dựng , gọi là hình chiếu của trên
Ta có mà
Vì suy ra khoảng cách giữa hai đường và là
Trong tam giác hạ , suy ra , và
.
Vậy ,
Suy ra
Cách 2. Gọi là trung điểm của suy ra
Gọi là hình chiếu của trên , Trong từ dựng đường thẳng .
Gọi là trung điểm của , là hình chiếu của trên , ta có:
,
Khi đó
Câu 6: (THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Cho hình chóp có , , là điểm bất kì trong không gian. Gọi là tổng khoảng cách từ đến tất cả các đường thẳng , , , , , . Giá trị nhỏ nhất của bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có khối chóp là khối chóp tam giác đều.
Gọi là trọng tâm tam giác . Khi đó là chiều cao của khối chóp .
Gọi ,,lần lượt là trung điểm của ,, và ,, lần lượt là hình chiếu của ,, trên ,,.
Khi đó ,,tương ứng là các đường vuông góc chung của các cặp cạnh và , và , và .
Ta có . Do đó nên .
Suy ra (cùng song song với ). Do đó bốn điểm ,,, đồng phẳng.
Tương tự ta có bộ bốn điểm ,,, và ,,, đồng phẳng.
Ba mặt phẳng ,, đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến , , . Suy ra ,, đồng quy tại điểm thuộc .
Xét điểm bất kì trong không gian.
Ta có .
Do đó nhỏ nhất bằng khi .
Ta có , , , .
Suy ra .
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là .
Câu 7: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều có và . Gọi , , lần lượt là trung điểm các cạnh , và (tham khảo hình vẽ bên dưới). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Gọi , lần lượt là trung điểm của , . Gọi .
Khi đó nên giao tuyến của và là đường thẳng qua và song song , .
Tam giác cân tại nên .
Tam giác cân tại nên .
Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng và là góc giữa và .
Ta có , , .
Vì và nên ; .
.
