Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Lê Văn Đoàn là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
N¨m häc 2017 – 2018
Biªn so¹n & Gi¶ng d¹y:
Ths. Lª V¨n §oµn
0933.755.607
Taøi lieäu luyeän thi Thpt Quoác Gia
Taøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia – 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM
Bieân soaïn & Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789 Trang - 1 -
Chuyeân ñeà
§ 1. NGUYEÂN HAØM VAØ PHÖÔNG PHAÙP TÌM NGUYEÂN HAØM
Khái niệm nguyên hàm và tính chất
1. Khái niệm nguyên hàm
— Cho hàm số ( )f x xác định trên .K Hàm số ( )F x được gọi là nguyên hàm của hàm số
( )f x trên K nếu: ( ) ( ), .F x f x x K
— Nếu ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trên K thì họ nguyên hàm của hàm số ( )f x trên
K là: ( )d ( ) , .f x x F x C const C
2. Tính chất: Nếu ( ), ( )f x g x là hai hàm số liên tục trên K và 0k thì ta luôn có:
( )d ( ) ,f x x f x C ( )d ( ) ,f x x f x C ( )d ( ) ,....f x x f x C
( )d . ( )d ,kf x x k f x x với k là số thực khác 0.
( ) ( ) d ( )d ( )d .f x g x x f x x g x x
( ) ( )F x f x (định nghĩa).
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
0d .x C d .k x kx C
1
d .
1
n
n xx x C
n
11 ( )
( ) d .
1
n
n ax bax b x C
a n
1 d ln .x x C
x
1 1
d ln .x ax b C
ax b a
2
1 1
d .x C
xx
2
1 1 1
d .
( )
x C
a ax bax b
sin d cos .x x x C
1
sin( )d cos( ) .ax b x ax b C
a
cos d sin .x x x C
1
cos( )d sin( ) .ax b x ax b C
a
2
1
d cot .
sin
x x C
x
2
d 1
cot( ) .
sin ( )
x
ax b C
aax b
2
1
d tan .
cos
x x C
x
2
d 1
tan( ) .
cos ( )
x
ax b C
aax b
d .x xe x e C
1
d .ax b ax be x e C
a
d .
ln
x
x aa x C
a
1
d .
ln
x
x aa x C
a
♦ Nhận xét. Khi thay x bằng ( )ax b thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1
a
NGUYEÂN HAØM – TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG 3
Taøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia – 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM
Bieân soaïn & Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789 Trang - 2 -
Daïng toaùn 1. Tính nguyeân haøm baèng baûng nguyeân haøm
1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP khai triễn.
2. Tích các hàm mũ PP khai triển theo công thức mũ.
3. Chứa căn PP chuyển về lũy thừa.
4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin PP Sử dụng công thức tích thành tổng.
1sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
1
sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
1cos cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
5. Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: 2 21 1 1 1sin cos2 , cos cos2 .
2 2 2 2
a a a a
6. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ ( ) d ,
( )
P x
I x
Q x
với ( ),P x ( )Q x là các đa thức.
Nếu bậc của tử số ( )P x bậc của mẫu số ( )Q x PP Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số ( )P x bậc của mẫu số ( )Q x PP phân tích mẫu ( )Q x thành
tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số (pp che).
2 2
1
,
( )( )
A Bx C
x mx m ax bx c ax bx c
với 2 4 0.b ac
2 2 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
A B C D
x a x bx a x b x a x b
Lưu ý. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu ở phần đổi biến.
Baøi taäp vaän duïng
BT 1. Tìm nguyên hàm ( )F x của hàm số ( )f x (giả sử điều kiện được xác định):
a) 2 21 1( ) 3 ( ) 3 d
3 3
f x x x F x x x x
.................................................................
b) 3 2( ) 2 5 4 7 ( ) ( )df x x x x F x f x x .............................................................
c) 5 3 2( ) 6 12 8 ( ) ( )df x x x x F x f x x ............................................................
d) 2 2( ) ( 3 )( 1) ( ) ( 3 )( 1)df x x x x F x x x x x .............................................
........................................................................................................................................
e) 2 2( ) ( 1)( 2) ( ) ( 1)( 2)df x x x F x x x x ..................................................
........................................................................................................................................
Taøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia – 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM
Bieân soaïn & Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn – 0933.755. 607 – 0929. 031.789 Trang - 3 -
f) 2 2 2 2( ) ( 1) ( ) ( 1) df x x x F x x x x ..................................................................
.......................................................................................................................................
