Daiso11 chuong 4a là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Đại số 11 Trần Sĩ Tùng
Trần Sĩ Tùng Đại số 11
I. Giới hạn của dãy số
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:
;
; 2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
lim (un + vn) = a + b
lim (un – vn) = a – b
lim (un.vn) = a.b (nếu b 0)
b) Nếu un 0, n và lim un= a
thì a 0 và lim c) Nếu ,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
d) Nếu lim un = a thì 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1. Giới hạn đặc biệt: 2. Định lí:
a) Nếu thì
b) Nếu lim un = a, lim vn = thì lim= 0
c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0
thì lim =
d) Nếu lim un = +, lim vn = a
thì lim(un.vn) = * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
VD: a) b)
c)
Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức
VD: ===
Dùng định lí kẹp: Nếu ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0
VD: a) Tính . Vì 0 và nên
b) Tính . Vì
nên 0 .
Mà nên
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Baøi 1: Tính các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f)
Baøi 2: Tính các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f)
Baøi 3: Tính các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f)
Baøi 4: Tính các giới hạn sau:
a) b)
c) d)
e) f)
Baøi 5: Tính các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Baøi 6: Tính các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f)
Baøi 7: Cho dãy số (un) với un = , với n 2.
a) Rút gọn un. b) Tìm lim un.
Baøi 8: a) Chứng minh: (n N*).
b) Rút gọn: un = .
c) Tìm lim un.
Baøi 9: Cho dãy số (un) được xác định bởi: .
a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n.
b) Tính un theo n.
c) Tìm lim un.
Baøi 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi:
a) Chứng minh rằng: un+1 = , n 1.
b) Đặt vn = un – . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un.
II. Giới hạn của hàm số
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1. Giới hạn đặc biệt: ; (c: hằng số)2. Định lí:a) Nếu và
thì:
(nếu M 0)
b) Nếu f(x) 0 và
thì L 0 và c) Nếu thì 3. Giới hạn một bên: 1. Giới hạn đặc biệt: ; ; ;
2. Định lí:Nếu 0 và thì:* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: , , – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
Một số phương pháp khử dạng vô định:
1. Dạng
a) L = với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
VD:
b) L = với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
VD:
c) L = với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc
Giả sử: P(x) = .
Ta phân tích P(x) = .
VD:
=
2. Dạng : L = với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
VD: a)
b)
3. Dạng – : Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
VD:
4. Dạng 0.:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
VD:
Baøi 1: Tìm các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Baøi 2: Tìm các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Baøi 3: Tìm các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Baøi 4: Tìm các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Baøi 5: Tìm các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Baøi 6: Tìm các giới hạn sau:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
Baøi 7: Tìm các giới hạn sau:
a) b) c)
d) e) f)
Baøi 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a) b)
c) d)
Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
a) b)
c) d)
III. Hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0
Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x0).
B2: Tính (trong nhiều trường hợp ta cần tính , )
B3: So sánh với f(x0) và rút ra kết luận.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
4. Hàm số đa thức liên tục trên R.
Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f
