Hướng dẫn giải tích phân vận dụng cao trong đề thi THPTQG 2018 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
1
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018
Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa
Câu 1. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa 22 3 1 1 .f x f x x Giá trị của tích phân
1
0
' df x x
bằng
A. 0. B.
1
.
2
C. 1. D.
3
.
2
Lời giải. Ta có
1 1
0
0
d 1 0 .f x x f x f f
Từ
2
2
02 0 3 1 1 5
2 3 1 1 .
32 1 3 0 0
1
5
ff f
f x f x x
f f
f
Vậy
1
0
3 2
' d 1 0 1.
5 5
I f x x f f Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn 0 1 1.f f Biết rằng
1
0
d .xe f x f x x ae b
Tính 2018 2018.Q a b
A. 20172 1Q . B. 2Q . C. 0Q . D. 20172 1Q .
Lời giải. Ta có
1 1 0 1 11
/
0
0 0
d d 1 0 1.
f f
x x xe f x f x x e f x x e f x ef f e
Suy ra
20182018 2018 20181 1 1 2.
1
a
Q a b
b
Chọn B.
Câu 3. Cho các hàm số ,y f x y g x có đạo hàm liên tục trên 0;2 và thỏa mãn
2
0
' d 2,f x g x x
2
0
' d 3.f x g x x Tính tích phân
2
/
0
d .I f x g x x
A. 1.I B. 1.I C. 5.I D. 6.I
Lời giải. Ta có
2 2
/
0 0
d ' ' dI f x g x x f x g x f x g x x
2 2
0 0
' d ' d 2 3 5.f x g x x f x g x x Chọn C.
Câu 4. Cho hàm số y f x liên tục trên 0; và thỏa
2
0
d .sin
x
f t t x x . Tính
1
4
f
.
A.
1
.
4 2
f
B.
1 1
.
4 2
f
C.
1
1.
4
f
D.
1
1 .
4 2
f
Lời giải. Từ
2
0
d .sin
x
f t t x x , đạo hàm hai vế ta được
22 sin cos .xf x x x x
Cho
1
2
x ta được
1 1 1
2. . sin cos 1 1.
2 4 2 2 2 4
f f
Chọn C.
Câu 5. Cho hàm số f x liên tục trên ;a với 0a và thỏa
2
d 6 2
x
a
f t
t x
t
với mọi .x a Tính 4 .f
A. 4 2.f B. 4 4.f C. 4 8.f D. 4 16.f
Lời giải. Từ
2
d 6 2
x
a
f t
t x
t
, đạo hàm hai vế ta được
2
1
.
f x
x x
Suy ra 4 4 4 8.f x x x f Chọn C.
2
Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến
Câu 6. Cho
2017
0
d 2f x x . Tính tích phân
2017 1
2
2
0
. ln 1 d .
1
e
x
I f x x
x
A. 1.I B. 2.I C. 4.I D. 5.I
Lời giải. Đặt 2ln 1 ,t x suy ra 2 2
2 d d d
d .
21 1
x x x x t
t
x x
Đổi cận:
2017
0 0
.
1 2017
x t
x e t
Khi đó
2017 2017
0 0
1 1 1
d d .2 1.
2 2 2
I f t t f x x Chọn A.
Câu 7. Cho hàm số f x liên tục trên và
9 2
1 0
d 4, sin cos d 2.
f x
x f x x x
x
Tính tích phân
3
0
d .I f x x
A. 2.I B. 6.I C. 4.I D. 10.I
Lời giải. Xét
9
1
d 4.
f x
x
x
Đặt
2 ,t x t x suy ra 2 d d .t t x
Đổi cận
1 1
.
9 3
x t
x t
Suy ra
9 3 3
1 1 1
4 d 2 2d d 2.
f x
x f t t f t t
x
Xét
2
0
sin cos d 2.f x x x
Đặt sin ,u x suy ra d cos d .u x x
Đổi cận
0 0
.
1
2
x u
x u
Suy ra
12
0 0
2 sin cos d d .f x x x f t t
Vậy
3 1 3
0 0 1
d d d 4.I f x x f x x f x x Chọn C.
Câu 8. Cho hàm số f x liên tục trên và
1 24
2
0 0
tan d 4, d 2.
1
x f x
f x x x
x
Tính tích phân
1
0
d .I f x x
A. 6.I B. 2.I C. 3.I D. 1.I
Lời giải. Xét
4
0
tan d 4.f x x
Đặt tan ,t x suy ra 22 2
1 d
d d tan 1 d d .
cos 1
t
t x x x x
x t
Đổi cận:
0 0
.
1
4
x t
x t
Khi đó
1 14
2 2
0 0 0
4 tan d d d .
1 1
f t f x
f x x t x
t x
Từ đó suy ra
1 1 1 2
2 2
0 0 0
d d d 4 2 6.
1 1
f x x f x
I f x x x x
x x
Chọn A.
Câu 9. Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
4
2
0
tan . cos d 1,x f x x
2 2ln
d 1.
ln
e
e
f x
x
x x
Tính tích phân
2
1
4
2
d .
f x
I x
x
A. 1.I B. 2.I C. 3.I D. 4.I
Lời giải. ● Xét
4
2
0
tan . cos d 1A x f x x
. Đặt
2cos .t x
3
Suy ra 2
d
d 2 sin cos d 2 cos tan d 2 .tan d tan d .
2
t
t x x x x x x t x x x x
t
Đổi cận:
0 1
.1
4 2
x t
x t
Khi đó
1
1 1 12
1 1 11
2 2 2
1 1 1
1 d d d d 2.
2 2 2
f t f t f x f x
A t t x x
t t x x
● Xét
2 2ln
d 1.
ln
e
e
f x
B x
x x
Đặt
2ln .u x
Suy ra
22 ln 2 ln 2 d du
d d d d .
ln ln ln 2
x x u x
u x x x
x x x x x x x u
Đổi cận:
2
1
.
4
x e u
x e u
Khi đó
4 4 4
1 1 1
1 1
1 d d d 2.
2 2
f u f x f x
B u x x
u x x
● Xét tích phân cần tính
2
