Kỹ thuật tạo số phức liên hợp giải nhanh bài toán số phức vận dụng cao Nguyễn Minh Tuấn là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
KỸ THUẬT TẠO SỐ PHỨC LIÊN HỢP
NGUYỄN MINH TUẤN - POPEYE NGUYỄN
Đây là một kỹ thuật tưởng chừng như đơn giản nhưng nhờ đó ta lại có thể giải quyết được rất
nhiều những bài toán vận dụng cao của số phức một cách nhanh chóng.
Một số công thức liên can
1. z+ z = 2R(z), z = z
2. z = z khi z là số thực
3.
z− z
2i
= I(z)
4. z± z′ = z± z, z.z′ = z.z′, z
z′
= z
z′
5. z.z = |z|2, vậy nếu |z| = 1 thì 1
z
= z
Câu 1. Cho số phức z 6= 1 thỏa mãn z+1
z−1 là số thuần ảo. Tìm |z| ?
A. |z| = 1 B. |z| = 1
2
C. |z| = 2 D. |z| = 4
GIẢI. Từ giả thiết ta có
z+1
z−1 +
z+1
z−1 = 0 ⇐⇒
z+1
z−1 +
z+1
z−1 = 0=⇐⇒ 2z.z−2= 0 ⇐⇒ |z| = 1. Chọn A.
Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 5 và iz+4 là số thuần ảo, tìm số phức nghịch đảo của z ?
A. z−1 = 3
25
+ 4
25
i B. z−1 = 3
25
− 4
25
i C. z−1 = 4
25
− 3
25
i D. z−1 = 4
25
+ 3
25
i
GIẢI. Từ giả thiết ta có iz+4+ iz+4= 0 ⇐⇒ iz− iz+8= 0 ⇐⇒ 2I(z)i2 +8= 0 ⇐⇒ I(z)= 4
Như vậy R(z)=±3. Trong các đáp án trên thì có B thỏa mãn z−1 là đúng.
Câu 3. Cho số phức z 6= 1 và |z| = 1. Tìm phần thực của số phức 1
1− z ?
A. 2 B. −2 C. −1
2
D.
1
2
GIẢI. Ta có 2R
(
1
1− z
)
= 1
1− z +
1
1− z =
1
1− z +
1
1− z =
2− z− z
1− z− z+ z.z = 1.
Vậy 2R
(
1
1− z
)
= 1 ⇐⇒ R
(
1
1− z
)
= 1
2
. Chọn đáp án D
Câu 4. Cho z là số phức thực sự và thỏa mãn
1
|z|− z có phần thực bằng 4. Tính |z| ?
A. |z| = 1
4
B. |z| = 1
8
C. |z| = 4 D. |z| = 1
16
GIẢI. Từ giả thiết ta có
1
|z|− z +
1
|z|− z = 8 ⇐⇒
1
|z|− z +
1
|z|− z = 8 ⇐⇒
2|z|− z− z
|z|2 −|z|(z+ z)+ z.z = 8 ⇐⇒
1
|z| = 8 ⇐⇒ |z| =
1
8
. Chọn B
Câu 5. Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1| = |z2| = 1 và z1z2 6= 1. Tìm phần ảo của số phức w =
z1 + z2
1+ z1z2
?
A. Phần ảo bằng 1 B. Phần ảo bằng -1
C. Phần ảo bằng 0 D. Phần ảo lớn hơn 1
NGUYỄN MINH TUẤN - POPEYE NGUYỄN 1 Trang 1/6 - Mã đề thi 69
GIẢI. Vì |z1| = |z2| = 1 nên 1z1
= z1, 1z2
= z2. Ta có z1 + z21+ z1z2
=
1
z1
+ 1
z2
1+ 1
z1
.
1
z2
= z1 + z2
1+ z1.z2
= z1 + z2
1+ z1z2
. Vậy w
là số thực, chọn C.
Câu 6. Cho ba số phức a,b, c thỏa mãn a+ b+ c = 0 và |a| = |b| = |c| = 1. Đặt w = a2 + b2 + c2. Hỏi
khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. w là số thực không âm B. w = 0
C. w là số thuần ảo D. w là số thực dương
GIẢI. Ta có w = (a+b+c)2−2(ab+bc+ca)=−2abc
(
1
a
+ 1
b
+ 1
c
)
=−2abc(a+b+c)=−2abc.a+b+ c = 0.
Vậy chọn B.
Câu 7. Cho z là số phức thực sự và thỏa mãn
1+ z+ z2
1− z+ z2 là số thực. Tìm modulus của số phức z ?
A. |z| =p2 B. |z| =p3 C. |z| = 1 D. |z| = 1p
2
GIẢI. Ta có
1+ z+ z2
1− z+ z2 = 1+2
z
1− z+ z2 . Để nó là số thực thì
z
1− z+ z2 ∈R hay
1− z+ z2
z
∈R. Tức là
1− z+ z2
z
= 1− z+ z
2
z
⇐⇒ 1− z+ z
2
z
= 1− z+ z
2
z
⇐⇒ |z|2(z− z)= z− z ⇐⇒ |z| = 1
. Chọn đáp án C
Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn z6 − z5 + z4 − z3 + z2 − z+1 = 0. Tìm phần thực của số phức w =
z(z2 − z+1)
A. 1 B. 0 C.
1
2
D. 2
GIẢI. Từ giả thiết ta có
z7 +1
z+1 = 0 ⇐⇒ z
7 = −1 hay suy ra |z| = 1. Ta lại có từ giả thiết z(z2 − z+
1)(z3 −1)+1 = 0 ⇐⇒ w = 1
1− z3 . Chú ý rằng |z
3| = 1 theo kết quả câu 3 ta có ngay R(w) = 1
2
. Chọn
đáp án C.
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn
∣∣∣∣z+ 1z
∣∣∣∣= 2p3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z| ?
A. max |z| = 2+p3, min |z| = 2−p3 B. max |z| = 1+p3, min |z| = 2−p3
C. max |z| = 3+p3, min |z| = 4−p3 D. max |z| = 2+p3, min |z| = 4−p3
GIẢI. Ta có
∣∣∣∣z+ 1z
∣∣∣∣2 = 12 ⇐⇒ (z+ 1z
)(
z+ 1
z
)
= 12 ⇐⇒ |z|
4 + (z+ z)2 −2|z|2 +1
|z|2 = 12 ≥
|z|4 −2|z|2 +1
|z|2 .
Ta có đánh giá này vì tất cả đều là số thực. Vậy |z|4−2|z|2+1≤ 12|z|2 ⇐⇒ 7−4p3≤ |z|2 ≤ 7+4p3 ⇐⇒
2−p3≤ |z| ≤ 2+p3. Chọn đáp án A
Lời kết: Các bài toán trên đều ở mức vận dụng cao, rất cao. Thông qua kỹ thuật nhỏ trên, tác
giả hy vọng các em sẽ vận dụng linh hoạt các công thức biến đổi của số phức để tìm ra lời giải
một cách ngắn gọn nhất. Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng inbox vào tài khoản Facebook: Popeye
Nguyễn. Xin cảm ơn
NGUYỄN MINH TUẤN - POPEYE NGUYỄN 2 Trang 2/6 - Mã đề thi 69
NGUYỄN MINH TUẤN
Số 3 Ngách 80/8 Châu Đài, 01687773876
(Đề thi có 51 câu, 6 trang)
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Chuyên đề: Số phức (phần 1)
Thời gian làm bài: 100 phút
Mã đề thi 69
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trường: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câu 1. Cho số phức z = a+bi. Tìm điều kiện của a,b để số phức z+ i
z− i là số thực dương ?
A.
b = 0−1< a < 1 B.
a = 0b > 1∨b <−1 C.
a = 0−1< b < 1 D.
b = 0a > 1∨a <−1
Câu 2. Cho z =
(
1− i
1+ i
)2017
. Tìm modulus của số phức w = iz.
A. |w| = 1 B. |w| =p2 C. |w| = 2 D. |w| = (p2)2017
Câu 3. Tìm m để số phức z = 2m+1+ (m−1)i có modulus bằng p53 ?
A. m ∈
{
−17
5
;3
}
B. m ∈
{
17
5
;−3
}
C. m ∈ {−5;3} D. m ∈ {5;−3}
Câu 4. Đặt f (z)= z+ i|z|. Tính | f (3+4i)| ?
A. 3 B.
p
10 C.
p
11 D. 2
p
3
Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn |z|+ z = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. z là số thuần ảo B. z là số thực dương
C. z là số thực âm D. z ∈C\R
Câu 6. Cho z = x+ yi với x, y là hai số thực thỏa mãn (1−2i)x+ (1+2i)y = 1+ i.Tìm modulus của
z?
A. |z| =
p
10
4
B. |z| =p10 C. |z| =
p
10
2
D. |z| = 5
2
Câu 7. Tìm số phức nghịch đảo của số phức z = 1+4i
3+2i ?
