Lý thuyết đạo hàm là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN
1
Contents
I-DẠNG 1: DẤU HIỆU ĐỒ THỊ TƯƠNG GIAO TRỤC HOÀNH ............................................................ 1
ĐỊNH LÝ 1: Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm trên K ............................................................................. 1
ĐỊNH LÝ 2: Cho hàm số ( )y f x= xác định, liên tục trên khoảng ( );a b và ( )0 ;x a bÎ . ........................... 3
II-DẠNG 2: TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ .................................................................................................................. 5
1. Tịnh tiến theo phương hoành ..................................................................................................................... 5
2. Tịnh tiến theo phương tung ........................................................................................................................ 5
3. Tịnh tiến theo phương hoành và tung ........................................................................................................ 6
III-DẠNG 3: HÀM HỢP: ................................................................................................................................ 9
IV-DẠNG 4: ĐỒ THỊ ( )y f x¢= TƯƠNG GIAO VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG KHÁC ( )y h x= ......... 13
V-DẠNG 5: SO SÁNH GIÁ TRỊ ( ); ( ); ( )....f a f b f c .................................................................................... 18
VI-DẠNG 6: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ ................................................................................................................. 22
CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM ẨN
I-DẠNG 1: DẤU HIỆU ĐỒ THỊ TƯƠNG GIAO TRỤC HOÀNH
ĐỊNH LÝ 1: Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm trên K
a. Nếu ( ) 0,f x x K¢ > " Î thì hàm số ( )y f x= đồng biến trên K
b. Nếu ( ) 0,f x x K¢ < " Î thì hàm số ( )y f x= nghịch biến trên K
Chú ý: Xét đồ thị hàm số ( )'y f x= sau đây
GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN
2
( ) 0f x¢ = khi đồ thị của nó có điểm chung với trục hoành suy ra nghiệm x = nghiệm đơn, kép(bội chẵn)
( ) 0f x¢ > khi đồ thị của nó nằm trên trục hoành suy ra khoảng đồng biến tương ứng với phần đồ thị đó
( ) 0f x¢ < khi đồ thị của nó nằm dưới trục hoành suy ra khoảng nghịch biến tương ứng với phần đồ thị đó
Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số ( )y f x¢= dưới đây ta ta nhận thấy:
1. ( ) 0 1 2f x x x¢ = = - = là các giao điểm của đồ thị với trục Ox
2. ( ) 0f x¢ > khi x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số ( )g f x¢= nằm phía trên trục hoành.
Khi 1 2x x< - >
3. ( ) 0f x¢ < khi x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số ( )g f x¢= nằm phía dưới trục hoành.
Khi 1 2x- < <
Bảng biến thiên hàm số ( )y f x=
Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số ( )y f x¢= dưới đây ta ta nhận thấy:
1. ( ) 0f x x a x b x c¢ = = = = là các giao điểm của đồ thị với trục Ox là các nghiệm đơn
2. ( ) 0f x¢ > khi x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số ( )g f x¢= nằm phía trên trục hoành.
x – ∞ ‐1 2 + ∞
y' + 0 – 0 +
y
– ∞
+ ∞
y=
y=
GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN
3
Khi ;a x b x c< < >
3. ( ) 0f x¢ < khì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số ( )g f x¢= nằm phía dưới trục hoành.
Khi ;x a b x c< < <
Bảng biến thiên hàm số ( )y f x=
ĐỊNH LÝ 2: Cho hàm số ( )y f x= xác định, liên tục trên khoảng ( );a b và ( )0 ;x a bÎ .
Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm trên khoảng ( );a b và đạt cực trị tại 0x thì ( )f x¢ đổi dấu khi 0x qua x
Từ định lý trên ta có:
a. Nếu hàm số ( )y f x= đạt cực đại tại điểm 0x thì ( )f x¢ đổi dấu từ dương sang âm khi 0x qua x
b. Nếu hàm số ( )y f x= đạt cực tiểu tại điểm 0x thì ( )f x¢ đổi dấu từ âm sang dương khi
0
x qua x
Chú ý: Xét đồ thị hàm số ( )'y f x= sau đây
Chú ý:
Đồ thị cắt trục hoành gọi đó là nghiệm đơn
Đồ thị tiếp xúc trục hoành gọi đó là nghiệm kép (nghiệm bội chẵn)
Qua nghiệm đơn thì ( )f x¢ đổi dấu, còn qua nghiệm kép thì không đổi dấu
Nghiệm đơn xác định cực trị. Nghiệm kép(bội chẵn) không là cực trị
x – ∞ a b c + ∞
y' – 0 + 0 – 0 +
y
+ ∞
+ ∞
GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN
4
( ) 0f x¢ = khi đồ thị của nó có điểm chung với trục hoành suy ra nghiệm ...x =
( ) 0f x¢ > khi đồ thị của nó nằm trên trục hoành suy ra khoảng đồng biến
( ) 0f x¢ < khi đồ thị của nó nằm dưới trục hoành suy ra khoảng nghịch biến
Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số ( )y f x¢= dưới đây ta ta nhận thấy:
1. ( ) 0 0 1f x x x¢ = = = là các nghiệm đơn
2. ( )f x¢ đổi dấu từ âm sang dương khi 0 0x qua x =
2. ( )f x¢ đổi dấu từ dương sang âm khi 0 1x qua x =
Từ đó ta có kết luận:
Cụ thể 0x = là điểm cực tiểu và 1x = là điểm cực đại của hàm số
Bảng biến thiên của hàm số ( )y f x=
Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số ( )y f x¢= dưới đây ta ta nhận thấy:
