Phần 2 Góc và khoảng cách File word là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
PHẦN 2: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
VẤN ĐỀ 1: GÓC TRONG KHÔNG GIAN
DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương pháp
+ Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00.
+ Nếu a và b cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các góc được tạo bởi hai đường thẳng.
+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song ( hoặc trùng) với a và b.
Tức là:
Chú ý:
*
* Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm (thuộc một trong hai đường thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng song song với đường còn lại.
Ví dụ: Để tính . Ta kẻ AE // CD.
Khi đó:
* Nếu lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì:
Tức là: .
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi là góc giữa hai đường thẳng AB và DM, khi đó bằng
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi N là trung điểm của AC
=> MN là đường trung bình của
Vì và là các tam giác đều cạnh bằng .
Vì
Xét , ta có:
Vậy Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và . Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi I là trung điểm của SD
=> OI là đường trung bình của
Vì
Ta có:
cân tại I.
Gọi H là trung điểm của .
Và .
Xét , ta có:
Vậy Chọn đáp án B.
Chú ý: Để tính ta có thể tính cách khác như sau:
.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; cạnh và .
a) Góc giữa đường thẳng SB và DC bằng:
A. B. C. D.
Gọi là góc giữa SD và BC. Khi đó, bằng:
A. B. C. D.
Lời giải:
a) Vì
(vì vuông tại A ).
Xét vuông tại A, ta có:
Vậy
=> Chọn đáp án A.
b) Gọi E là trung điểm của AB.
Khi đó, BCDE là hình bình hành.
Ta có:
Áp dụng định lí hàm cosin trong tam giác SDE, ta được:
Vậy
Chọn đáp án B.
DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Phương pháp
+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa hai đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900.
Tức là:
+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).
Tức là: Nếu và a’ là hình chiếu của a trên (P) thì .
Chú ý:
*
* Nếu .
* Để tìm hình chiếu a’ của a trên (P) ta có thể làm như sau:
Tìm giao điểm .
Lấy một điểm A tùy ý trên a và xác định hình chiếu H của A trên (P). Khi đó, a’ là đường thẳng đi qua hai điểm A và M.
2. Một số loại góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thường gặp đối với hình chóp
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy
H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)
=> HD là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD)
Vậy .
Góc giữa cạnh bên và mặt đứng
Dựng .
Vì
=> E là hình chiếu vuông góc của C trên (SHD).
=> SE là hình chiếu vuông góc của SC trên (SHD).
Vậy .
Góc giữa đường cao và mặt bên
Dựng
Vì
Mà
=> SE là hình chiếu vuông góc của SH trên (SAD).
Vậy
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và . Gọi là góc giữa SC và (ABCD), khi đó số đo góc bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
Vì là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).
Do đó:
(vì vuông tại A ).
Xét vuông tại A, ta có:
=> Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a; SA vuông góc với đáy và . Gọi là góc giữa SC và mặt phẳng (SAB), khi đó nhận giá trị nào trong các giá trị sau:
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi M là trung điểm của AB .
Vì
SM là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB).
Khi đó;
(vì vuông tại S ).
Xét vuông tại S, ta có:
Vậy => Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại A; và . Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng:
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi H là trung điểm của BC.
Vì vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp và .
Mà là trục của đường tròn ngoại tiếp
=> HA là hình chiếu của SA trên (ABC).
(Vì vuông tại H nên ).
Xét vuông tại H, ta có:
Vậy Chọn đáp án A.
DẠNG 3: GÓC GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Phương pháp
Đề xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:
Cách 1: Theo định nghĩa
Cách 2: Khi xác định được thì ta làm như sau:
+ Bước 1: Tìm mặt phẳng
+ Bước 2: Tìm
Khi đó:
Đặc biệt: Nếu xác định được 2 đường thẳng p, q sao cho:
Ví dụ: Góc giữa mặt bên và mặt đáy
Dựng
Vì
Vì
Cách 3: Theo định lí về hình chiếu
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao hình chóp bằng . Góc giữa mặt bên và mặt đáy là:
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và E là trung điểm của CD.
=> OE là đường trung bình của .
Vì
Vì
Vì
Xét vuông tại O, ta có:
Vậy => chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi O’ là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và là góc giữa hai mặt phẳng (O’AB) và (ABCD). Góc thỏa mãn hệ thức nào sau đây ?
A. B. C. D.
Lời giải
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của AB
Vì
Vì
Xét vuô
