Tài liệu Toán 11 DÃY SỐ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File word là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Đặt mua trọn bộ chuyên đề lớp 11 môn Toán file word
Cách 1: Soạn tin “ Đăng ký bộ đề chuyên đề lớp 11 Toán” gửi đến số 0982.563.365
Cách 2: Đăng ký tại link sau http://dethithpt.com/dangkytoan/
Chuong 3. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Nội dung phương pháp quy nạp toán học
Cho là một số nguyên dương và là một mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên . Nếu
(1) là đúng và
(2) Nếu đúng, thì cũng đúng với mọi số tự nhiên ;
thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên .
Khi ta bắt gặp bài toán:
Chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau
Bước 1: Kiểm tra có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bước hai
Bước 2: Với , giả sử đúng ta cần chứng minh cũng đúng.
Kết luận: đúng với .
Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề đúng gọi là giả thiết quy nạp.
Vấn đề 1. Dùng quy nạp để chứng minh đẳng thức. Bất đẳng thức
Phương pháp .
Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức (hoặc ) đúng với ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính rồi chứng minh
Bước 2: Giả sử , ta cần chứng minh
.
Các ví dụ
Ví dụ 1.
Chứng mình với mọi số tự nhiên ta luôn có:
Lời giải:
Đặt : tổng n số tự nhiên đầu tiên :
Ta cần chứng minh .
Bước 1: Với ta có
đúng với .
Bước 2: Giả sử với tức là:
(1)
Ta cần chứng minh , tức là:
(2)
Thật vậy:
(Do đẳng thức (1))
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi .
Ví dụ 2.
Chứng minh với mọi số tự nhiên ta luôn có:
Lời giải:
Với ta có
Suy ra đẳng thức cho đúng với .
Giả sử đẳng thức cho đúng với với tức là:
(1)
Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với , tức là:
(2)
Thật vậy:
(Do đẳng thức (1))
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi .
Ví dụ 3.
Chứng minh rằng với , ta có bất đẳng thức:
Lời giải:
* Với ta có đẳng thức cho trở thành : đúng.
đẳng thức cho đúng với .
* Giả sử đẳng thức cho đúng với , tức là :
(1)
Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với , tức là :
(2)
Thật vậy, ta có :
Ta chứng minh:
(luôn đúng)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi số tự nhiên .
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với ta có bất đẳng thức: . Đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải:
Với ta cần chứng minh:
Tức là: (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi .
Giả sử , ta chứng minh (*)
Thật vậy, ta có:
Nên để chứng minh (*) ta chỉ cần chứng minh
Hay (**)
Khai triển (**) , biến đổi và rút gọn ta thu được
BĐT này hiển nhiên đúng. Đẳng thức có .
Vậy bài toán được chứng minh.
Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên ta có thể chứng minh theo cách sau
Bước 1: Ta chứng minh đúng với và
Bước 2: Giả sử đúng với , ta chứng minh đúng với .
Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si).
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta luôn có
1.
2.
Lời giải:
1. Bước 1: Với ta có:
đẳng thức cho đúng với .
Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với , tức là:
(1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với , tức là cần chứng minh:
(2).
Thật vây:
đúng đẳng thức cho đúng với mọi .
2. * Với ta có đẳng thức cho đúng với
* Giả sử đẳng thức cho đúng với , tức là: (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với , tức là cần chứng minh
(2).
Thật vậy:
đúng đẳng thức cho đúng.
Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau
1. với
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Với mọi .
9.
với .
10.
Với mọi .
Lời giải:
1.
.
2.
3. .
4.
5,6,7. Bạn đọc tự làm
8.
.
9.
.
10.
.
Bài 3
1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có:
(n dấu căn)
2. Chứng minh các đẳng thức với với .
Lời giải:
1.
* Với
đẳng thức cho đúng với .
* Giả sử đẳng thức cho đúng với , tức là:
(k dấu căn) (1)
Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với , tức là:
( dấu căn) (2).
Thật vậy:
(Ở trên ta đã sử đụng công thức ).
đúng đẳng thức cho đúng.
2. Với ta có nên đẳng thức cho đúng với
Giả sử đẳng thức cho đúng với , tức là:
(1)
Ta chứng minh (4) đúng với , tức là
(2)
Thật vậy:
Nên (2) đúng. Suy ra đẳng thức cho đúng với mọi .
Bài 4 Chứng minh rằng với mọi ta có bất đẳng thức:
Lời giải:
* Với ta có: nên đẳng thức cho đúng.
* Giả sử đẳng thức cho đúng với , tức là : (1)
Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với ,tức là :
(2)
Thật vậy:
Vậy đẳng thức cho đúng với , nên đẳng thức cho cũng đúng với mọi số nguyên dương .
Bài 5
1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có :
2. với mọi số tự nhiên ;
3. với mọi số tự nhiên ;
Lời giải:
1. Ta chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp theo . Sau đó cho ta có (7).
* Với
đúng với .
* Giải sử (1) đúng với , tức là:
(2).
Ta chứng minh (1) đúng với , tức là
(3).
Thật vậy:
đúng đpcm.
Cách khác
