Tài liệu Toán 11 DỜI HÌNH PHÉP VỊ TỰ (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File word là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Đặt mua trọn bộ chuyên đề lớp 11 môn Toán file word
Cách 1: Soạn tin “ Đăng ký bộ đề chuyên đề lớp 11 Toán” gửi đến số 0982.563.365
Cách 2: Đăng ký tại link sau http://dethithpt.com/dangkytoan/
PHÉP VỊ TỰ
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa.
Cho điểm và một số thực . Phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm sao cho được gọi là phép vị tự tâm , tỉ số . Kí hiệu
Vậy .
2. Biểu thức tọa độ.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho , , gọi thì .
3. Tính chất:
Nếu thì và
Phép vị tự tỉ số k
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.
- Biến một đường thẳng thành đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
- Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường tròn có bán kính thành đường tròn có bán kính
4. Tâm vị tự của hai đường tròn.
Định lí: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn và
Nếu thì các phép vị tự biến thành.
Nếu và thì các phép vị tự và biến thành. Ta gọi là tâm vị tự ngoài còn là tâm vị tự trong của hai đường tròn.
Nếu Nếu và thì có biến thành.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ.
Phương pháp:
Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép vị tự.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng , cho đường thẳng có phương trình . Hãy viết phương trình của đường thẳng là ảnh của qua phép vị tự tâm tỉ số .
Lời giải:
Cách 1: Lấy .
Gọi . Theo biểu thức tọa độ ta có
.
Thay vào ta được
Vậy .
Cách 2: Do song song hoặc trùng với nên phương trình có dạng : . Lấy thuộc . Gọi ta có . Thay vào ta được .
Vậy .
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng , cho đường tròn . Tìm ảnh của đường tròn qua phép vị tự tâm tỉ số
Lời giải:
Đường tròn có tâm , bán kính .
Gọi
.
Gọi là ảnh của qua phép vị tự thì có tâm , bán kính .
Vậy .
Bài toán 02: TÌM TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.
Phương pháp:
Sử dụng cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong bài học.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai đường tròn và đựng nhau, với . Tìm tâm vị tự của hai đương tròn và .
Lời giải:Do và nên có hai phép vị tự và biến thành .
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn và . Tìm tâm vị tự của hai đường tròn.
Lời giải:
Đường tròn có tâm ,bán kính ; đường tròn có tâm , bán kính . Do và nên có hai phép vị tự và biến thành . Gọi
Với khi đó .
.
Tương tự với , tính được .
Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.
Phương pháp:
Để dựng một hình nào đó ta quy về dựng một số điểm ( đủ để xác định hình ) khi đó ta xem các điểm cần dựng đó là giao của hai đường trong đố một đường có sẵn và một đường là ảnh vị tự của một đường khác.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai điểm cố định và hai đường thẳng . Dựng tam giác có đỉnh thuộc và trọng tâm thuộc .
Lời giải:
Phân tích:Giả sử đã dựng được tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Gọi là trung điểm của , theo tính chất trọng tâm ta có mà
Với là ảnh của qua .
Lại có .
Cách dựng:
- Dựng đường thẳng ảnh của qua .
- Dựng giao điểm .
- Dựng giao điểm .
Hai điểm là hai điểm cần dựng.
Chứng minh:
Rõ ràng từ cách dựng ta có ; là trung điểm của và là trọng tâm tam giác .
Biện luận:
Số nghiệm hình bằng số giao điểm của và .
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn đồng tâm và . Từ một điểm trên đường tròn lớn hãy dựng đường thẳng cắt tại và cắt tại sao cho .
Lời giải:
Phân tích:
Giả sử đã dựng được đường thẳng cắt tại và tại sao cho , khi đó .
Mà nên với đường tròn là ảnh của qua .
Lại có nên .
Cách dựng
- Dựng đường tròn ảnh của đường tròn qua phép vị tự .
- Dựng giao điểm của và .
- Dựng đường thẳng đi qua cắt các đường tròn tại tương ứng.
Đường thẳng chính là đường thẳng cần dựng.
Chứng minh:
Gọi là trung điểm của thì cũng là trung điểm của .
Vì nên , mặt khác và có chung trung điểm nên suy ra . Vậy .
Biện luận: Gọi lần lượt là bán kính các đường tròn và ta có:
Nếu thì có một nghiệm hình.
Nếu thì có hai nghiệm hình.
Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM.
Phương pháp:
Để tìm tập hợp điểm ta có thể quy về tìm tập hợp điểm và tìm một phép vị tự nào đó sao cho suy ra quỹ tích điểm là ảnh của quỹ tích qua .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho đường tròn và một điểm nằm ngoài đường tròn sao cho , là một điểm thay đổi trên đường tròn . Phân giác trong góc cắt tại điểm . Tìm tập hợp điểm khi di động trên .
Lời giải:
Theo tính chất đường phân giác ta có
, mà thuộc đường tròn nên thuộc ảnh của qua . Vậy tập hợp điểm là ảnh của qua .
Ví dụ 2. Cho tam giác . Qua điểm trên cạnh vẽ các đường song song với các đường trung tuyến và , tương ứng cắt và tai . Tìm tập hợp điểm sao cho là hình bình hành.
Lời giải:
Gọi , và là trọng tâm của tam giác .
Ta có .
Tương tự ta có
Từ đó ta có Do đó , mà
