Tài liệu Toán 11 Lý thuyết và bài tập chương TỔ HỢP XÁC SUẤT có lời giải chi tiết Ngọc Huyền là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CHỦ ĐỀ 2. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
QUY TẮC ĐẾM
A. LÝ THUYẾT
1. Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiên, hành động kia có n cách thực hiên không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
Chú ý: số phần tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là |X| hoặc n(X)
Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì
Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động
.Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, hành động A2 có m2 cách thực hiện,…, hành động Ak có mk cách thực hiện và các cách thực hiên của các hành động trên không trùng nhau thì công việc đó có cách thực hiện.
2. Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi k hành độngliên tiếp. Nếu hành động A1 có m1cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động A1 có m2 cách thực hiện hành động A2,…, có mk cách thực hiện hành động Ak thì công việc đó có cách hoàn thành.
HOÁN VỊ- CHỈNH HỢP- TỔ HỢP
1. Hoán vị
Cho tập hợp A có n phần tử . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Pn
Định lí 1: với Pn là số các hoán vị
chứng minh
Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A là một công việc gồm n công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất: n cách
Công đoạn 2: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai: (n-1) cách
Công đoạn thứ i: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có cách.
.
Công đoạn thứ n: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ n có 1 cách.
Theo quy tắc nhân thì có cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A, tức là có hoán vị.
STUDY TIPHai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba phần tử a, b, c là khác nhau.
2. Chỉnh hợp
Cho tập A gồm n phần tử .
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau tử n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chinht hợp chập k của n phần tử đã cho.
STUDY TIP:Từ định nghĩa ta thấy một hoán vị của tập hợp A có n phần tử là một chỉnh hợp chập n của A.
Định lý 2: với là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử .
Chứng minh
Việc thiết lập một chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử là một công việc gồm k công đoạn.
Công đoạn 1: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất có n cách thực hiện.
Công đoạn 2: Chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai có cách thực hiện.
.
Sau khi thực hiện xong công đoạn (chọn phần tử của A vào các vị trí thứ 1, 2,., ), công đoạn thứ i tiếp theo là chọn phần tử xếp vào vị trí thứ i có cách thực hiện.
Công đoạn cuối, công đoạn k có cách thực hiện.
Thoe quy tắc nhân thì có chỉnh hợp chập k của tập A có n phần tử.
3. Tổ hợp
Giả sử tập A có n phần tử . Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử có kí hiệu là .STUDY TIPSố k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện . Tuy vậy, tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
QUY ƯỚC
Định lý 3
Chứng minh
Ta có mỗi hoán vị của một tổ hợp chập k của A cho ta một chỉnh hợp chập k của A. Vậy .
Định lý 4 (hai tính chất cơ bản của số )
a. Cho số nguyên dương n và số nguyên k với . Khi đó .
b. Hằng đẳng thức Pascal
Cho số nguyên dương n và số nguyên dương k với . Khi đó .
Đọc thêm
Trên máy tính cầm tay có chức năng tính tổ hợp, chỉnh hợp như sau:
Với tổ hợp ta nhấn tổ hợp phím
Ví dụ ta muốn tính ta ấn
Với chỉnh hợp ta ấn tổ hợp phím
Ví dụ ta muốn tính ta ấn tổ hợp phím
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM
Phương pháp chung:
Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện một công việc bằng quy tắc cộng, ta thực hiện các bước:
Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu phương án riêng biệt để thực hiện công việc (có nghĩa công việc có thể hoàn thành bằng một trong các phương án ).
Bước 2: Đếm số cách chọn trong các phương án
Bước 3: Dùng quy tắc cộng ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công việc là
Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc bằng quy tắc nhân, ta thực hiện các bước:
Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực hiện công việc (giả sử chỉ hoàn thành sau khi tất cả các công đoạn hoàn thành).
Bước 2: Đếm số cách chọn trong các công đoạn
Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công việc là
Ví dụ 1. Một lớp học có 25 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra:
a) một học sinh đi dự trại hè của trường.
b) một học sinh nam và một học sinh nữ dự trại hè của trường. Số cách Chonju trong mỗi trường hợp a và b lần lượt là
A. 45 và 500. B. 500 và 45. C. 25 và 500. D. 500 và 25.
Lời giải
Chọn
