Tài liệu Toán 12 Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh File word có lời giải chi tiết là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Tuyển tập công thức và thủ thuật tính nhanh – môn Toán
CÔNG THỨC VÀ THỦ THUẬT TÍNH NHANH
BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC
Bài toán cơ bản: Cho số phức thỏa mãn điều kiện (*) cho trước. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của .
Phương pháp chung
+ Bước 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện (*).
+ Bước 2: Tìm số phức tương ứng với điểm biểu diễn sao cho khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Biết các số phức có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. Môđun lớn nhất của số phức là A. B. C. D.
Lời giải
bằng nửa độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 2 Chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Biết các số phức có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. Môđun nhỏ nhất của số phức là A. B.
C. D.
Lời giải
, điểm biểu diễn là điểm Chọn đáp án A.
Ví dụ 3 : Biết các số phức có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. Môđun nhỏ nhất của số phức là A. B.
C. D.
Lời giải
Tam giác có góclà góc tù nên
Vậy Chọn đáp án C.
Ví dụ 4 : Biết các số phức có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên. Môđun nhỏ nhất của số phức là A. B.
C. D.
Lời giải
Tam giác có góc là góc tù nên
Vậy Chọn đáp án A.
Ví dụ 5 : Biết các số phức có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường elip như hình vẽ bên. Môđun nhỏ nhất của số phức là A. B.
C. D.
Lời giải
Elip có độ dài trục nhỏ bằng Chọn đáp án A.
Ví dụ 6 : Biết các số phức có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là hình elip tô đậm như hình vẽ bên. Môđun lớn nhất của số phức là A. B.
C. D.
Lời giải
Elip có độ dài trục lớn bằng Chọn đáp án B.
Ví dụ 7 : Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức là đường thẳng như hình vẽ. Khi đó, có giá trị nhỏ nhất bằng A. 2. B. 1.
C. . D. .
Lời giải
Phường trình
Gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức
Vì .
Suy ra
Vậy Chọn đáp án D.
MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP
Bài toán 1: Cho số phức thỏa mãn ,, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
Lời giải
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm và bán kính
Khi đó :
Tìm tọa độ điểm (tức là, tìm số phức có môđun nhỏ nhất, lớn nhất).
+ Phương trình đường tròn quỹ tích của điểm biểu diễn số phức là:
+ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm là .
Khi đó, là giao điểm của và .
Giải hệ phương trình: hai nghiệm tọa độ hai điểm.
So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới , khoảng cách nào nhỏ hơn thì điểm đó ứng với điểm và điểm còn lại là điểm .
Tổng quát: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của .
Giải
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Nếu các số phức thỏa mãn thì có giá trị lớn nhất bằng A. B. 5 C. D.
Lời giải
Tập hợp các điểm là đường tròn có tâm và bán kính .
Vậy
Chọn đáp án A.
Câu hỏi bổ sung 1: có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Trả lời:
Câu hỏi bổ sung 2: Tìm số phức có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
Trả lời: Phương trình đường thẳng là .
Tọa độ hai điểm là nghiệm của hệ phương trình:
+ Số phức có môđun lớn nhất là ứng với điểm .
+ Số phức có môđun nhỏ nhất là ứng với điểm .
Ví dụ 2[Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 1]: Nếu các số phức thỏa mãn thì có giá trị lớn nhất bằng A. 4. B. 3. C. 7 D. 6.
Lời giải
Ta có:
Tập hợp các điểm là đường tròn có tâm và bán kính
Vậy Chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Nếu các số phức thỏa mãn thì có giá trị nhỏ nhất bằng A. 1. B. 2. C. D. 3.
Lời giải
Ta có:
Tập hợp các điểm là đường tròn có tâm và bán kính
Vậy Chọn đáp án B.
Bài toán 2: Trong các số phức thỏa mãn , . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
Lời giải
Gọi
Khi đó:
Muốn tìm các số phức sao cho thì ta đi tìm hai giao điểm của đường tròn với đường thẳng .
Tổng quát: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
Giải:
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của lần lượt là A. 7. B. 3. C. 2. D. 5.
Lời giải
Ta có: và
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Trong số phức thỏa mãn , số phức có nhỏ nhất thì có phần ảo bằng bao nhiêu? A. 4. B. 0. C. 3. D. 2.
Lời giải
Tập hợp các điểm là đường tròn có tâm và bán kính
Vì nên số phức có môđun nhỏ nhất là ứng với điểm
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3 [ Trích đề thi HK 2 – THPT Phan Đình Phùng – HN]: Trong tất cả các số phức thỏa mãn ,gọi là số phức có đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức A. B. C. D.
Lời giải
Ta có: và
Tập hợp các điểm là đường tròn có tâm và bán kính .
Phương trình đường thẳng là:
Tọa độ hai điểm là nghiệm của hệ phương trình:
Khi đó là điểm biểu diễn số phức cần tìm.
Chọ
