TÀI LIỆU TOÁN LỚP 9 CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP CHUẨN là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 9 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
MỘT SỐ TIÊU CHUẨN NHẬN BIẾT TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Tiêu chuẩn 1. Điều kiện cần và đủ để bốn đỉnh của một tứ giác lồi nằm trên cùng một đường tròn là tổng số đo của hai góc tứ giác tại hai đỉnh đối diện bằng .
Điều kiện để tứ giác lồi nội tiếp là: hoặc
Hệ quả: Tứ giác nội tiếp được
Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác vuông tại . Kẻ đường cao và phân giác trong của góc . Phân giác trong góc cắt lần lượt tại . Chứng minh rằng: .
Phân tích và hướng dẫn giải:
Ta có . Nếu
thì tứ giác nội tiếp. Vì vậy
thay vì trực tiếp chỉ ra góc
ta sẽ đi chứng minh
tứ giác nội tiếp. Tức là ta chứng minh . Thật vậy ta có , mà và do cùng phụ với góc từ đó suy ra hay tứ giác nội tiếp
Ví dụ 2: Cho tam giác có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn có trực tâm là điểm . Gọi là điểm trên dây cung không chứa điểm ( khác ). Gọi theo thứ tự là các điểm đối xứng của qua các đường thẳng
Chứng minh là tứ giác nội tiếp thẳng hàng.
Tìm vị trí của điểm để độ dài đoạn lớn nhất.
Phân tích và hướng dẫn giải:
a). Giả sử các đường cao của tam giác là . Để chứng minh là tứ giác nội tiếp ta sẽ chứng minh .Mặt khác ta có ( đối đỉnh), ( do tính đối xứng và góc nội tiếp cùng chắn một cung). Như vậy ta chỉ cần chứng minh nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác là tứ giác nội tiếp.
b). Để chứng minh thẳng hàng ta sẽ chứng minh do đó ta sẽ tìm cách quy hai góc này về 2 góc đối nhau trong một tứ giác nội tiếp. Thật vậy ta có: (tính chất góc nội tiếp), (1) (Tính chất đối xứng) . Ta thấy vai trò tứ giác giống với nên ta cũng dễ chứng minh được là tứ giác nội tiếp từ đó suy ra , mặt khác (2) (Tính chất đối xứng) . Từ (1), (2) ta suy ra chỉ cần chứng minh nhưng điều này là hiển nhiên do tứ giác nội tiếp. Vậy hay thẳng hàng.
Chú ý: Đường thẳng qua chính là đường thẳng Steiners của điểm . Thông qua bài toán này các em học sinh cần nhớ tính chất. Đường thẳng Steiners của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó . (Xem thêm phần “Các định lý hình học nổi tiếng’’).
c). Ta có . Mặt khác ta có nên các điểm thuộc đường tròn tâm bán kính . Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: . Như vậy lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất. Hay là đường kính của đường tròn
Ví dụ 3: Cho tam giác và đường cao gọi lần lượt là trung điểm của . Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . Chứng minh là tứ giác nội tiếp và đi qua trung điểm của .
Phân tích, định hướng cách giải:
Để chứng minh
là tứ giác nội tiếp ta sẽ
chứng minh: .
Ta cần tìm sự liên hệ của các góc
với các góc có sẵn
của những tứ giác nội tiếp khác.
Ta có suy ra . Hay tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Kẻ , giả sử cắt tại thì là cát tuyến của hai đường tròn , . Lại có (Tính chất trung tuyến tam giác vuông). Suy ra tam giác cân tại luôn đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Hay là tiếp tuyến của suy ra , tương tự ta cũng có là tiếp tuyến của suy ra do đó .
Xem thêm phần: ‘’Các tính chất của cát tuyến và tiếp tuyến’’
Ví dụ 4) Cho tam giác cân là điểm trên cạnh đáy . Kẻ các đường thẳng lần lượt song song với gọi là điểm đối xứng với qua . Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Phân tích định hướng giải:
Bài toán có 2 giả thiết cần lưu ý.
Đó là các đường thẳng song song
với 2 cạnh tam giác , và điểm
đối xứng với qua .
Do đó ta sẽ có:
và ( Đây là chìa khóa để ta giải bài toán này)
Từ định hướng đó ta có lời giải như sau: Do là hình bình hành
. Mặt khác do đối xứng nhau qua . Suy ra là hình thang cân . Kéo dài cắt tại ta có . Như vậy để chứng minh nội tiếp ta cần chứng minh: là tứ giác nội tiếp. Mặt khác ta có: (do tam giác cân), (Do tính đối xứng ) suy ra là tứ giác nội tiếp.
Ví dụ 5) Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Dựng đường tròn qua và tiếp xúc với cạnh tại dựng đường tròn qua và tiếp xúc với tại hai đường tròn này cắt nhau tại . Chứng minh
Phân tích định hướng giải:
Ta thấy rằng thì các điểm
cùng nằm trên đường tròn
đường kính .Ta mong muốn tìm
ra được một góc bằng .
Điều này làm ta nghỉ đến tính chất
quen thuộc ‘’Đường kính đi qua trung
điểm của một dây cung thì vuông góc
với dây đó’’. Vì vậy nếu ta gọi
là trung điểm của thì ta sẽ có:
. Do đó tứ giác nội tiếp. Công việc còn lại là ta chứng minh hoặc hoặc là tứ giác nội tiếp. Mặt khác ta có: và (Tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) và đồng dạng nên ta suy ra nội tiếp suy ra năm điểm nằm trên đường tròn đường kính
Ví dụ 6: Cho tam giác vuông cân tại một đường tròn tiếp xúc với tại . Trên cung nằm trong tam giác lấy một điểm . Gọi lần lượt là hình chiếu của trên và là giao điểm của với là giao điểm của với . Chứng minh .
Phân tích định hướng giải:
Để chứng minh
ta chứng minh
nhưng tứ giác nội tiếp
nên . Mặt khác
là tiếp tuyến
