TAP 2. LIEN TUC HAM SO LOP 11 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CHƯƠNG IV.
GIỚI HẠN
TẬP 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC
https://web.facebook.com/phong.baovuong
ALBA- Chư sê – Gia Lai
NGUYỄN BẢO VƢƠNG
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| 1
Mục lục
HÀM SỐ LIÊN TỤC ....................................................................................... 2
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ....................................................... 2
Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập ....................................................... 8
Vấn đề 3. Chứng minh phƣơng trình có nghiệm ...........................................................14
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 2
HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Định nghĩa
Cho hàm số ( )y f x xác định trên khoảng K và
0
x K
1) Hàm số ( )y f x liên tục tại
0
0 0
lim ( ) ( )
x x
x f x f x
2) Hàm số ( )y f x không liên tục tại
0
x ta nói hàm số gián đoạn tại
0
x
( )y f x liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
( )y f x liên tục trên đoạn ;a b nếu nó liên tục trên ;a b và
lim ( ) ( )
x a
f x f a
, lim ( ) ( )
x b
f x f b
.
2. Các định lý cơ bản.
Định lý 1 :
a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng
Định lý 2. Các hàm số ( ), ( )y f x y g x liên tục tại
0
x . Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục tai x0, thương
( )
( )
f x
y
g x
liên tục nếu
0
( ) 0g x .
Định lý 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn ;a b .
Nếu ( ) ( )f a f b và M là một số nằm giữa ( ) , ( )f a f b thì tồn tại ít nhất một số ;c a b sao cho ( ) f c M
Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạn ;a b .
Nếu ( ) ( ) 0f a f b thì tồn tại ít nhất một số ;c a b sao cho ( ) 0f c .
Chú ý : Ta có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau :
Cho hàm số f liên tục trên đoạn ;a b . Nếu ( ) ( ) 0f a f b thì phương trình ( ) 0f x có ít nhất một nghiệm
thuộc ( ; )a b .
Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phƣơng pháp:
Tìm giới hạn của hàm số ( )y f x khi
0
x x và tính
0
( )f x
Nếu tồn tại
0
lim ( )
x x
f x
thì ta so sánh
0
lim ( )
x x
f x
với
0
( )f x .
Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại
0
x thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
2.
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x l f x f x l
.
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 3
3. Hàm số 0
0
( ) khi
khi
f x x x
y
k x x
liên tục tại
0
0
lim ( )
x x
x x f x k
.
4. Hàm số 1 0
2 0
( ) khi
( )
( ) khi
f x x x
f x
f x x x
liên tục tại điểm
0
x x khi và chỉ khi
0 0
1 2 1 0
lim ( ) lim ( ) ( )
x x x x
f x f x f x
.
Chú ý:
Hàm số 0
0
( ) khi
khi
f x x x
y
k x x
liên tục tại
0
x x khi và chỉ khi
0
lim ( )
x x
f x k
.
Hàm số 0
0
( ) khi
( ) khi
f x x x
y
g x x x
liên tục tại
0
x x khi và chỉ khi
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x
.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại 3x
1.
3
2
27
khi 3
6
10
khi 3
3
x
x
x xf x
x
2.
2
3
khi 3
2 3 3
1 khi 3
x
x
xf x
x x
Lời giải.
1. Hàm số xác định trên
Ta có
10
(3)
3
f và
3 2
23 3 3
27 ( 3)( 3 9)
lim ( ) lim lim
( 3)( 2)6x x x
x x x x
f x
x xx x
2
3
3 9 27
lim (3)
2 5x
x x
f
x
.
Vậy hàm số không liên tục tại 3x .
2. Ta có (3) 4f và 2
3 3
lim ( ) lim( 1) 4
x x
f x x
;
3 3 3 3
3 2 3 3
lim ( ) lim lim 3 lim ( )
22 3 3x x x x
x x
f x f x
x
Vậy hàm số gián đoạn tại 3x .
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra
1.
2 1 khi 1
( )
2 khi 1
x x
f x
x
tại điểm
0
1x 2.
2 2
khi 1( ) 1
1 khi 1
x x
xf x x
x
Lời giải.
1. Ta có (1) 2f và 2
1 1
lim ( ) lim( 1) 2 (1)
x x
f x x f
Vậy hàm số liên tục tại điểm 1x .
2. Ta có ( 1) 1f
NGUYỄN BẢO VƯƠNG CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2
GIÁO VIÊN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 ĐỂ ĐẶT HÀNG| HÀM SỐ LIÊN TỤC 4
1 1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim lim (2 ) 3
1x x x
x x
f x x
x
1 1 1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim lim ( 2) 3 lim ( )
1x x x x
x x
f x x f x
x
Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số ( )y f x khi 1x .
Vậy hàm số gián đoạn tại 1x .
Ví dụ 3 Tìm a để hàm số sau liên tục tại 2x
1.
3 4 2
khi 2
2
khi 2
x
x
f x x
a x
