Toán thực tế 12 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Toán thực tế 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN | 13
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
và ứng dụng trong thực tiễn
I, Cơ sở lý thuyết.
1. Định nghĩa.
Cho hàm số y f x xác định trên tập D.
a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên tập D nếu
f x M với mọi x thuộc D và tồn tại 0x D sao cho 0 .f x M
Kí hiệu: max .
D
M f x
b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên tập D nếu
f x m với mọi x thuộc D và tồn tại 0x D sao cho 0 .f x m
Kí hiệu: min .
D
m f x
2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Nhận xét:
Nếu hàm số đơn điệu ( đồng biến hoặc nghịch biến) trên đoạn a, b thì giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số trên đoạn a, b đạt được tại điểm đầu mút của đoạn
( đây là kiến thức quan trọng để áp dụng khi quý độc giả giải nhanh các bài toán trắc nghiệm,
khi đã nhận ra hàm số đơn điệu trên đoạn a, b quý độc giả không cần tìm đạo hàm của hàm
số nữa mà tìm giá trị của hàm số tại hai điểm đầu mút luôn).
Quy tắc:
Bước 1: Tìm các điểm 1 2, ,..., nx x x trên khoảng ,a b , tại đó 'f x bằng 0 hoặc
'f x không xác định.
Bước 2: Tính 1 2, , ,..., , .nf a f x f x f x f b
Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có
,,
max , min .
a ba b
M f x m f x
Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất trên đoạn đó.
Ta có ví dụ sau:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x trên khoảng 0;1 .
Lời giải:
Ta thấy rõ ràng
1
' 0, 0;1
2
y x
x
nên hàm số luôn đồng biến trên 0;1 ,
và không tồn tại giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 0;1 .
Do vậy từ đây ta rút ra rằng định lí trên không luôn đúng với một khoảng mà
chỉ đúng với một đoạn.
Trên đây tôi nói không luôn đúng, chứ không dùng từ luôn không đúng bởi vì
Cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một
khoảng, như ở ví dụ sau đây:
Ứng dụng
của đạo
hàm trong
thực tiễn
Chương I
Chú ý: Hàm số liên
tục trên một khoảng
có thể không có giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất trên khoảng đó.
Ngọc Huyền LB The best or nothing
LOVEBOOK.VN | 14
II, Áp dụng thực tế
Ví dụ 1:
Bác nông dân muốn làm một hàng
rào trồng rau hình chữ nhật có chiều
dài song song với hàng tường gạch.
Bác chỉ làm ba mặt hàng rào bởi vì
mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ
tường( như hình vẽ 1). Bác dự tính sẽ
dùng 200 m lưới sắt để làm nên toàn
bộ hàng rào đó.
Diện tích đất trồng rau lớn nhất mà bác có thể rào nên là
A. 21500m B. 210000m C. 22500m D. 25000m
Phân tích: Chọn D.
Đề bài cho ta dữ kiện về chu vi của hàng rào là 200 m. Từ đó ta sẽ tìm được mối
quan hệ giữa x và r, đến đây ta có thể đưa về hàm số một biến theo l hoặc theo r
như sau:
Ta có 2 200 100
2
x
x r r . Từ đây ta có 0 200r x .
Diện tích đất rào được tính bởi:
2
. 100 100
2 2
x x
f x x x
.
Xét hàm số
2
100
2
x
f x x
trên khoảng 0; 200 .
Đến đây áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn như ở phần lý thuyết trên thì ta có phương trình:
' 0 100 0 100f x x x
Từ đó ta có 100 5000f là giá trị lớn nhất của diện tích đất rào được.
Trên đây là cách làm áp dụng quy tắc chúng ta vừa học, tuy nhiên tôi muốn
phân tích thêm cho quý độc giả như sau: Ta nhận thấy hàm số trên là hàm số
bậc hai có hệ số
1
0
2
a , vậy đồ thị hàm số có dạng parabol và đạt giá trị
lớn nhất tại
2
b
x
a
. Vậy áp dụng vào bài này thì hàm số đạt giá trị lớn nhất
tại
100
100
1
.2
2
x
. Từ đó tìm 100f luôn mà không cần đi tính 'f x .
Ví dụ 2: Một ca sĩ có buổi diễn âm nhạc với giá vé đã thông báo là 600 đô la thì
sẽ có 1000 người đặt vé. Tuy nhiên sau khi đã có 1000 người đặt vé với giá 600
đô la thì nhà quản lí kinh doanh của ca sĩ này nhận thấy, cứ với mỗi 20 đô la
giảm giá vé thì sẽ thu hút được thêm 100 người mua vé nên ông quyết định mở
ra một chương trình giảm giá vé. Tìm giá vé phù hợp để có được số tiền vé thu
vào là cao nhất và số tiền đó là bao nhiêu?
A. 400 đô la/ vé, số tiền thu vào là 800 000 đô la
B. 400 đô la/ vé, số tiền thu vào là 640 000 đô la
C. 100 đô la/ vé, số tiền thu vào là 11 000 đô la
D. 100 đô la/ vé, số tiền thu vào là 110 000 đô la
x
r
Hàng rào
Bờ tường
Hình 1
Kết luận: Với hàm số
bậc hai thì giá trị lớn
nhất hoặc giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên
đoạn a, b đạt được
tại
b
x
2a
nếu
b
a,b
2a
.
Toán thực tế 12 Ngọc Huyền LB
LOVEBOOK.VN | 15
Phân tích: Chọn A.
Gọi x là số lần giảm bớt đi 20 đô la trong giá vé. Khi đó giá vé sẽ là 600 20x
một người.
Số người mua vé sẽ là 1000 100x .
Khi đó số tiền thu được sẽ là:
2600 20 1000 100 2000 40000 600000f x x x x x
Tương tự như Ví dụ 1 thì hàm số là hàm số bậc hai có hệ số 2000 0a ta sẽ
