Tứ diện vuông và ứng dụng – Phạm Minh Tuấn là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Töù dieän vuoâng vaø öùng
duïng
Sưu tầm và Biên soạn: Phạm Minh Tuấn
Sƣu tầm: Phạm Minh Tuấn
PHẦN 1 – ĐỊNH NGHĨA TỨ DIỆN VUÔNG
VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
A – ĐỊNH NGHĨA TỨ DIỆN VUÔNG:
Tứ diện OABC được gọi là tứ diện vuông khi tứ diện đó có OA, OB, OC đôi một vuông
góc với nhau.
Chú ý:
Tứ diện trực tâm là tứ diện có các cạnh đối vuông góc nhau. Như thế ta thấy rằng tứ diện
vuông cũng l| một loại tứ diện trực t}m đặc biệt. Chính vì vậy tứ diện trực t}m có đầy đủ tính
chất của tứ diện trực tâm.
B. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN VUÔNG:
Cho tứ diện vuông SABC đỉnh S. Khi đó ta có:
1. Kẻ đường cao SH. Khi đó H l| trực tâm của tam giác ABC.
2.
2 2 2 2
1 1 1 1
SH SA SB SC
.
3. = ( Định lí Pytago trong không gian).
4. Tam giác ABC là tam giác nhọn.
Và rất nhiều các tính chất khác mà các bạn sẽ được tìm hiểu trong phần bài tập về tứ diện vuông
mà chúng tôi trình bày ở phần sau.
Chứng minh các tính chất nêu trên:
A
O C
B
Sƣu tầm: Phạm Minh Tuấn
Tính chất 1:
AH kéo dài cắt BC tại M, CH kéo dài cắt AB tại P.
Do (1)
SA SB
SA SBC SA BC
SA SC
Vì (2)SH ABC SH BC
Từ (1) và (2) suy ra BC SAH BC AM .
Ho|n to|n tương tự ta chứng minh được CP vuông góc AB.
Từ đó ta có đpcm.
Tính chất 2:
Được chứng minh trong phần III.
Tính chất 3:
Trong (SBC) ta hạ SM vuông góc với BC.
Ta thấy rằng A, H, M thẳng hàng.
Tam giác SAM vuông tại S ta có:
Suy ra:
Hay ta có:
2 . (1)SBC HBC ABCS S S
Lý luận ho|n to|n tương tự ta có:
A
S
C
B
H
P
M
Sƣu tầm: Phạm Minh Tuấn
2
2
. (2)
. (3)
SAB HAB ABC
SAC HAC ABC
S S S
S S S
Cộng từng vế (1), (2) v| (3) ta có đpcm.
Tính chất 4:
Thật vậy trong ta gi{c ABC theo định lí hàm cosin ta có:
2 2 2 2 2 22 2 2 2
cos 0
2 . 2 . .
a b a c b cAB AC BC a
A
AB AC AB AC AB AC
Suy ra A nhọn.
Tương tự cho B và C.
PHẦN II – CÁC BÀI TẬP VỀ TỨ DIỆN VUÔNG
+ Vẽ MM’//OC ( 'M OB ), ta có: OC//(AM’M)
+ Vẽ 'OH AM ( ')OH AMM
+ Vẽ HI//OC ( I AM ), vẽ IJ//OH ( J OC ) ta có IJ l| đoạn vuông góc chung của OC và AM.
Tam gi{c OAM’ vuông có OH l| đường cao nên:
2 2 2
1 1 1
'OH OA OM
Suy ra
2 24
ab
IJ OH
a b
Bài 1:
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc nhau từng đôi một với
,OA a OB b . Gọi M là trung điểm BC. Vẽ và tính đoạn vuông góc chung của OC
và AM.
J
I
M'
M
C
O
A B
H
Sƣu tầm: Phạm Minh Tuấn
a) Gọi K l| trung điểm AC, ta có AB//(SKI). Do đó, khoảng cách giữa SI và AB bằng khoảng
cách từ A đến (SKI)
Vẽ AH SK .Do ( )AB SKA nên AB AH
Mà KI//AB nên AH KI . Từ đó ta được ( )AH SKI
Vậy khoảng cách giữa SI v| AB l| đoạn AH
Áp dụng hệ thức lượng trong tam gi{c vuông SAK,đường cao AH
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1
AH AK AS b h
Vậy khoảng cách cần tìm là
2 24
bh
AH
b h
b) Ta có . .BMIJ
BSCA
V BM BI BJ
V BS BC BA
Vẽ AL MJ .Vì IJ//AC,mà ( )AC SAB nên ( )IJ SAB
Ta có AL nằm trong mp(ASB) nên IJ AL
Vậy ( )AL MIJ
Mà AC//(MIJ) nên AL là khoảng cách giữa AC và MJ
Bài 2:
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c, AC=b. Trên đường
vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho SA=h (h>0).M là điểm di động trên
SB. Gọi J,I lần lượt là các trung điểm của BC và AB .
a) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SI và AB.
b) Tính tỉ số thể tích các hình MBIJ và BSCA khi độ dài đoạn vuông góc chung
của AC và MJ đạt giá trị lớn nhất
K
I
J
S
A
B
C
M
L
H
Sƣu tầm: Phạm Minh Tuấn
Mặt khác tam giác ALJ vuông tại L nên AL AJ
Khi đó AB MJ
Suy ra M l| trung điểm AB
Vậy
1 1 1 1
. .
2 2 2 8
BMIJ
BSCA
V
V
a)
3
' ' . ' ' ' ' ' ' '
3
12
A BB C ABC A B C AA BC A B C C
d
V V V V
b) Thiết diện l| hình thang A’B’FE. Gọi M,M’ lần lượt l| trung điểm AB v| A’B’.
Ta có : 2 2
39
' '
6
d
M G MM MG
Diện tích thiết diện là
2' ' 5 39
'
2 36
EF A B d
S M G
Gọi
1 2,V V lần lượt là thể tích phần trên (chứa A) và phần dưới (chứa C’) thiết diện hình lăng trụ
Ta thấy
2
' 3
' ' 3
JI EC
JC d
JC A C
Bài 3:
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng d
a) Tính thể tích tứ diện A’BB’C
b) Tính diện tích thiết diện do mp đi qua A’B’ và trọng tâm G của ABC và
tính tỉ số thể tích 2 phần của khối lăng trụ do chia cắt ra.
M'
G
J
F
M
C'
A C
A'
B
B'
E
Sƣu tầm: Phạm Minh Tuấn
' ' '
8
. .
' ' ' 27
JEFC
JA B C
V JE JF JC
V JA JB JC
Từ đó 1
2
19
8
V
k
V
Gọi I l| trung điểm của AB, suy ra I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vẽ ( )SAB tại I, khi đó là trục của tam giác SAB
Trong mặt phẳng tạo bởi và SC (do //SC), vẽ trung trực của SC cắt tại O, ta có
OA=OB=OC=OD nên O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC
Ta có bán kính mặt cầu là
O
M
I
C
A
B
S
Bài 4:
Cho hình chóp SABC có SA, SB, SC vuông góc nhau đôi một với SA=a, SB=b,
SC=c. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC.
Sƣu tầm: Phạm Minh Tuấn
2 2
2 2 2 2 21
4 4 2
AB SC
R SO SI IO a b c
a) Ta có
1 1
. . ( . . . . . . )
6 6
1
OABC IOAB IOCA IOBCV V V V
OAOB OC OAOB c OB OC a OAOC b
a b c
OA OB OC
b)Vì I cố định nên a,b,c không đổi
