Nội dung bài giảng
Bài 1 (trang 9 SGK Giải tích 12):
Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
a) y = 4 + 3x – x2
c) y = x4 - 2x2 + 3
d) y = -x3 + x2 – 5
Lời giải:
(Lưu ý:
a) D = R
y' = 3 – 2x = 0 ⇔ x = 3/2
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng (-∞; 3/2 ) và nghịch biến trong khoảng ( 3/2 ; + ∞ ).
b) D = R
y' = x2 + 6x - 7
y' = 0 ⇔ x = -7 hoặc x = 1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-∞ ; -7) và (1 ; +∞ ); nghịch biến trong khoảng (-7; 1 ).
c) D = R
y'= 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1)
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 1) và (0 ; 1); đồng biến trong các khoảng (-1 ; 0) và ( 1; +∞).
d) D = R
y'= -3x2 + 2x
y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2/3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 0) và (2/3 ; + ∞), đồng biến trong khoảng (0 ; 2/3 ).
Bài 2 (trang 10 SGK Giải tích 12):
Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
Lời giải:
a) D = R \ {1}
y' không xác định tại x = 1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ; 1) và (1 ; +∞ ) .
b) D = R \ {1}
y' không xác định tại x = 1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞ ;1) và (1 ; +∞)
c) D = (-∞ ; -4] ∪ [5; +∞)
y' không xác định tại x = -4 và x = 5
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong nửa khoảng (-∞ ; -4] và đồng biến trong nửa khoảng [5 ; + ∞ ).
d) D = R \ {±3}
y' không xác định tại x = ±3
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng đó nên hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞ ; -3) ( -3; 3) và (3; +∞ )
Bài 3 (trang 10 SGK Giải tích 12):
Chứng minh rằng hàm số
đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
Lời giải:
TXĐ: D = R
y' = 0 => x = ±1
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞) (đpcm).
Bài 4 (trang 10 SGK Giải tích 12):
Chứng minh rằng hàm số:
đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Lời giải:
TXĐ: D = [0; 2]
y' = 0 => x = 1
Bảng xét dấu y':
Từ bảng trên ta có:
+ y' > 0 với x ∈ (0; 1) do đó đồng biến trên khoản (0; 1);
+ y' < 0 với x ∈ (1; 2) nên nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2) (đpcm).
Bài 5 (trang 10 SGK Giải tích 12):
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Lời giải:
a) Xét hàm số y= f(x) = tanx – x trên khoảng (0; π/2)
Ta có:
=> hàm số đồng biến trên khoảng (0; π/2)
Do đó với x > 0 => f(x) > f(0) hay tanx - x > 0
=> tanx > x ∀ x ∈ (0; π/2) (đpcm)
b) Xét hàm số
Theo kết quả câu a) thì tanx > x ∀ x ∈ (0; π/2)
Suy ra g'(x) > 0 ∀ x ∈ (0; π/2)
=> hàm số g'(x) đồng biến trên khoảng (0; π/2)
Do đó với x > 0 => g(x) > g(0)
