[2D1-3. 12-3] Cho $x$ , $y > 0$ thỏa mãn $x + y = \frac{3}{2}$ và biểu thức $P = \frac{4}{x} + \frac{1}{4 y}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính $x^{2} + y^{2}$ .

\frac{25}{16}

\frac{5}{4}

\frac{2313}{1156}

\frac{153}{100}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Tác giả: Minh Anh Phuc; Fb: Minh Anh Phuc
Chọn D
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

P = \frac{4}{x} + \frac{1}{4 y} = \frac{4^{2}}{4 x} + \frac{1^{2}}{4 y} \geq \frac{{(4 + 1)}^{2}}{4 x + 4 y} = \frac{25}{4. \frac{3}{2}} = \frac{25}{6}

.
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi

\frac{4}{4 x} = \frac{1}{4 y} \Leftrightarrow x = 4 y

mà

x + y = \frac{3}{2}

nên

\{\begin{cases} x = \frac{6}{5} \\ y = \frac{3}{10} \end{cases}

.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của

P

là

\frac{25}{6}

khi

\{\begin{cases} x = \frac{6}{5} \\ y = \frac{3}{10} \end{cases}

\Rightarrow x^{2} + y^{2} = \frac{153}{100}

.
Cách 2:
Ta có

P = \frac{4}{x} + \frac{1}{4 y} = (\frac{4}{x} + \frac{25}{9} x) + (\frac{1}{4 y} + \frac{25}{9} y) - \frac{25}{9} (x + y)

.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\frac{4}{x} + \frac{25}{9} x \geq 2 \sqrt{\frac{4}{x} . \frac{25 x}{9}} = \frac{20}{3}

;

\frac{1}{4 y} + \frac{25}{9} y \geq 2 \sqrt{\frac{1}{4 y} . \frac{25 y}{9}} = \frac{5}{3}

\Rightarrow P \geq \frac{20}{3} + \frac{5}{3} - \frac{25}{9} . \frac{3}{2} = \frac{25}{6}

.
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi

\{\begin{cases} \frac{4}{x} = \frac{25}{9} x \\ \frac{1}{4 y} = \frac{25}{9} y \end{cases}

mà

\{\begin{cases} x > 0; y > 0 \\ x + y = \frac{3}{2} \end{cases}

\Rightarrow \{\begin{cases} x = \frac{6}{5} \\ y = \frac{3}{10} \end{cases}

.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của

P

là

\frac{25}{6}

khi

\{\begin{cases} x = \frac{6}{5} \\ y = \frac{3}{10} \end{cases}

\Rightarrow x^{2} + y^{2} = \frac{153}{100}

.
Cách 3:
Do

x > 0

và

x + y = \frac{3}{2}

nên

x \in (0; \frac{3}{2})

.
Xét hàm số

f (x) = \frac{4}{x} + \frac{1}{6 - 4 x}

trên

(0; \frac{3}{2})

.
Ta có

f^{'} (x) = - \frac{4}{x^{2}} + \frac{4}{{(6 - 4 x)}^{2}}

;

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow {(6 - 4 x)}^{2} = x^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 6 - 4 x = x \\ 6 - 4 x = - x \end{array}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{6}{5} \in (0; \frac{3}{2}) \\ x = 2 \notin (0; \frac{3}{2}) \end{array}

.
Bảng biến thiên

Ta có

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = + \infty

;

\lim_{x \to {(\frac{3}{2})}^{-}} f (x) = + \infty

;

f (\frac{6}{5}) = \frac{25}{6}

.
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

f (x)

ta có

\min_{(0; \frac{3}{2})} f (x) = f (\frac{6}{5}) = \frac{25}{6}

.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của

P

là

\frac{25}{6}

khi

\{\begin{cases} x = \frac{6}{5} \\ y = \frac{3}{10} \end{cases}

\Rightarrow x^{2} + y^{2} = \frac{153}{100}

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi