[2D2-4. 4-3] Cho hai số thực $a > 1, b > 1$ . Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $a^{x} . b^{x^{2} - 1} = 1$ . Trong trường hợp biểu thức $S = {(\frac{x_{1} . x_{2}}{x_{1} + x_{2}})}^{2} - 4 x_{1} - 4 x_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây đúng?

a \geq b

a . b = 4

a . b = 2

a < b

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có:

a^{x} . b^{x^{2} - 1} = 1 \Leftrightarrow x^{2} + x \log_{b} a - 1 = 0

Dễ thấy phương trình trên luôn có 2 nghiệm

x_{1}, x_{2}

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có

S = {(\frac{x_{1} . x_{2}}{x_{1} + x_{2}})}^{2} - 4 x_{1} - 4 x_{2} = \frac{1}{\log_{b}^{2} a} + 4 \log_{b} a

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương thì

S = \frac{1}{\log_{b}^{2} a} + 2 \log_{b} a + 2 \log_{b} a \geq 3 \sqrt[3]{4}

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2 \log_{b} a = \frac{1}{\log_{b}^{2} a} \Leftrightarrow \log_{a} b = \sqrt[3]{2} \Leftrightarrow b = a^{\sqrt[3]{2}}

Và do

a > 1, b > 1

nên đáp án D đúng

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi