[2D3-3. 3-3] Cho $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} x}$ . Biết $F (\frac{π}{4} + k π) = k$ với mọi $k \in ℤ$ . Tính $F (0) + F (π) + F (2 π) + . . . + F (10 π)$ .

A. 55.

B. 44.

C. 45.

D. 0.

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Anh Đào; Fb: Đào Nguyễn
Chọn B
Ta có

\int f (x) d x = \int \frac{d x}{\cos^{2} x} = \tan x + C

.
Suy ra

F (x) = \{\begin{cases} \tan x + C_{0}, x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}) \\ \tan x + C_{1}, x \in (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}) \\ \tan x + C_{2}, x \in (\frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2}) \\ . . . \\ \tan x + C_{9}, x \in (\frac{17 π}{2}; \frac{19 π}{2}) \\ \tan x + C_{10}, x \in (\frac{19 π}{2}; \frac{21 π}{2}) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} F (\frac{π}{4} + 0 π) = 1 + C_{0} = 0 \Rightarrow C_{0} = - 1 \\ F (\frac{π}{4} + π) = 1 + C_{1} = 1 \Rightarrow C_{1} = 0 \\ F (\frac{π}{4} + 2 π) = 1 + C_{2} = 2 \Rightarrow C_{0} = 1 \\ . . . \\ F (\frac{π}{4} + 9 π) = 1 + C_{9} = 9 \Rightarrow C_{9} = 8 \\ F (\frac{π}{4} + 10 π) = 1 + C_{10} = 10 \Rightarrow C_{10} = 9. \end{cases}

Vậy

F (0) + F (π) + F (2 π) + . . . + F (10 π) = \tan 0 - 1 + \tan π + \tan 2 π + 1 + . . . + \tan 10 π + 9 = 44.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học