[2D4-2. 2-3] Cho khai triển ${(\sqrt{3} + x)}^{2019} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + . . . + a_{2019} x^{2019}$ . Hãy tính tổng $S = a_{0} - a_{2} + a {}_{4}- a_{6} + . . . + a_{2016} - a_{2018}$ .

0

2^{2019}

{(\sqrt{3})}^{1009}

2^{1009}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Với mọi

k \in ℕ

, ta có:

i^{4 k} = 1

i^{4 k + 1} = i

i^{4 k + 2} = - 1

i^{4 k + 3} = - i

và

{(- i)}^{4 k} = 1

{(- i)}^{4 k + 1} = - i

{(- i)}^{4 k + 2} = - 1

{(- i)}^{4 k + 3} = i

Xét khai triển

{(\sqrt{3} + x)}^{2019} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + . . . + a_{2019} x^{2019}

Thay

x = i

ta được:

{(\sqrt{3} + i)}^{2019} = a_{0} + a_{1} i - a_{2} - a_{3} i + a_{4} + a_{5} i - a_{6} - . . . - a_{2018} - a_{2019} i

= (a_{0} - a_{2} + a_{4} - . . . . . . - a_{2018}) + (a_{1} - a_{3} + a_{5} - . . . . . . - a_{2019}) i

Mà

{(\sqrt{3} + i)}^{2019} = 2^{2019} {(\cos \frac{π}{6} + i . \sin \frac{π}{6})}^{2019} = 2^{2019} \cos \frac{2019 π}{6} + i . \sin \frac{2019 π}{6} = 0 + i

Suy ra

a_{0} - a_{2} + a_{4} - a_{6} + . . . - a_{2018} = 0

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học