Câu hỏi Toán học

[DS12. C4. 5. D02. d] Cho số phức z=x+y. i x,  y∈ℝ thỏa mãn z−2+i=z+2+5i và biểu thức
H=x2+y2−3y+1x2+y2+2x−2y+2x2+y2−2x−4y+5 đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 2x+y bằng

A. −6 .
B. −6+5 .
C. −3−5 .
D. −6−5 .
Đáp án và lời giải
Đáp án:B
Lời giải:Lời giải
Chọn B
Cách 1
Ta có: z−2+i=z+2+5i⇔x−22+y+12=x+22+y+52
⇔x+y+3=0
Vậy nếu gọi Mz thì M thuộc đường thẳng d:x+y+3=0 .
Suy ra: x=−3−y
Ta có H=x2−1+y2−3y+2x+12+y−12x−12+y−22=2y2+3y+102y2+2y+52y2+4y+20 .
⇔2H=2y2+3y+102y2+2y+5y2+2y+10
Mặt khác:
2y2+2y+5y2+2y+10≤2y2+2y+5+y2+2y+102=3y2+4y+152
Suy ra: 22H≥2y2+3y+103y2+4y+15 .
Xét hàm số: fy=2y2+3y+103y2+4y+15
Ta có: f′y=4y+33y2+4y+15−2y2+3y+106y+43y2+4y+152=5−y23y2+4y+152
f′y=0⇔5−y2=0⇔y=±5
Bảng biến thiên:
img1
Từ bảng biến thiên suy ra:
22H≥54−582⇔H≥542−1082
Dấu “=” xảy ra khi 2y2+2y+5=y2+2y+10y=−5⇔y2=5y=−5⇔y=−5
Với y=−5⇒x=−3+5⇒2x+y=−6+5 .
Cách 2
img1
Ta có z−2+i=z+2+5i⇔x−22+y+12=x+22+y+52⇔x+y+3=0.
Gọi
Khi đó H=x+1x−1+y−1y−2x+12+y−12. x−12+y−22=cosMA→,MB→ với A−1;1,  B1;2.
Do y=−x−3 nên x+1x−1+y−1y−2=2x2+9x+19>0,  ∀x∈ℝ.
Suy ra H=cosMA→,MB→>0⇒MA→,MB→∈00; 900 .
Bài toán trở thành tìm M∈d sao cho HMin⇔cosMA→,MB→Min⇔AMB^Max.
img1
Gọi I là tâm đường tròn qua A, B và tiếp xúc với d tại M .
I' là tâm đường tròn qua A, B và cắt d tại Q, H là giao điểm của I với BQ .
M'∈d và nằm ngoài đường tròn I' , K là giao điểm của I' với BM' .
Ta có AM'B^<AKB^=AQB^<AHB^=AMB^.
Do đó AMB^Max⇔M là tiếp điểm của đường tròn qua I tiếp xúc với d .
Phương trình đường thẳng trung trực của AB là 4x+2y−3=0.
Gọi It; −2t+32  ⇒IA=t+12+2t−122;  dI,d= t−2t+32+312+12 .
Do đường tròn cần tìm đi qua A và tiếp xúc d nên
IA=dI,d⇔  t+12+2t−122= t−2t+32+312+12⇔9t2+9t−714=0⇔t=−3+456t=−3−456
Với t=−3−456⇒I−3−456;15+856
Đường thẳng IM:x−y+3+25=0 .
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
x+y=−3x−y=−3−25=0⇒x=−3−5y=5
Vậy M−3−5;5 , AM→−2−5;5−1,BM→−4−5;5−2
cosAM→;BM→=2+54+5+5−15−22+52+5−124+52+5−22=45+3235+2=10+54282    * Với t=−3+456⇒I−3+456;15−856
Đường thẳng IM:x−y+3−25=0
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
Vậy M−3+5;−5 , AM→−2+5;−5−1,BM→−4+5;−5−2
cosAM→;BM→=5−25−4+5+15+22−52+5+124−52+5+22= 45−335−22=542−1082   ** Từ (*) và (**) suy ra điểm cần tìm M−3+5;−5
Vậy 2x+y=−6+5 .
Làm trắc nghiệm.
a) x+y=−32x+y=−6⇔x=−3y=0⇒H=1.
b) x+y=−32x+y=−6+5⇔x=−3+5y=−5⇒H≈0,892747.
c) x+y=−32x+y=−3−5⇔x=−5y=−3+5⇒H≈0,968241.
d) x+y=−32x+y=−6−5⇔x=−3−5y=5⇒H≈0,969876.
Do đó HMin⇔x=−3+5y=−5⇒ 2x+y=−6+5.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 15 phút Bài tập tổng hợp khác. - Số phức - Toán Học 12 - Đề số 1

Làm bài

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.