Biết $\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{d x}{1 + \sin x} = \frac{a \sqrt{3} + b}{c}$ , với $a, b \in ℤ, c \in ℤ^{+}$ và $a, b, c$ là các số nguyên tố cùng nhau. Giá trị của tổng $a + b + c$ bằng

5

12

7

- 1

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{d x}{1 + \sin x} = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{d x}{{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}^{2}}

= \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} \frac{x}{2}}}{{(1 + \tan \frac{x}{2})}^{2}} d x = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{(1 + \tan^{2} \frac{x}{2})}{{(1 + \tan \frac{x}{2})}^{2}} d x

.
Đặt

t = 1 + \tan \frac{x}{2} \Rightarrow 2 d t = (1 + \tan^{2} \frac{x}{2}) d x

Đổi cận:

x = 0 \Rightarrow t = 1; x = \frac{π}{6} \Rightarrow t = 3 - \sqrt{3}

I = \int_{1}^{3 - \sqrt{3}} \frac{2dt}{t^{2}} = {- \frac{2}{t}|}_{1}^{3 - \sqrt{3}} = \frac{- \sqrt{3} + 3}{3}

.
Suy ra

a = - 1, b = 3, c = 3

nên

a + b + c = 5

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học