Cho $\int_{0}^{1} \frac{x d x}{{(2 x + 1)}^{2}} = a + b \ln 2 + c \ln 3$ với $a$ , $b$ , $c$ là các số hữu tỉ. Giá trị của $a + b + c$ bằng:

\frac{5}{12}

- \frac{1}{3}

\frac{1}{4}

\frac{1}{12}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Đặt

2 x + 1 = u

, suy ra

2 d x = d u

và

2 x = u - 1

.
Khi

x = 0

thì

u = 1

; khi

x = 1

thì

u = 3

.
Từ đó,

\int_{0}^{1} \frac{x d x}{{(2 x + 1)}^{2}}

= \frac{1}{4} \int_{0}^{1} \frac{(2 x) . 2d x}{{(2 x + 1)}^{2}}

= \frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{(u - 1) d u}{u^{2}}

= \frac{1}{4} \int_{1}^{3} (\frac{1}{u} - \frac{1}{u^{2}}) d u

= \frac{1}{4} {(\ln |u| + \frac{1}{u})|}_{1}^{3}

= \frac{1}{4} (\ln 3 + \frac{1}{3}) - \frac{1}{4} (\ln 1 + 1)

= \frac{1}{4} \ln 3 + \frac{1}{12} - \frac{1}{4}

= - \frac{1}{6} + 0. \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 3

.
Suy ra

a = - \frac{1}{6}

;

b = 0

;

c = \frac{1}{4}

, và từ đó

a + b + c = \frac{1}{12}

Vậy đáp án đúng là D.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học