Cho các hàm số $f (x) = x^{2} - 4 x + m$ và $g (x) = (x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{2} + 3)}^{3}$ . Tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $g (f (x))$ đồng biến trên $(3; + \infty)$ là

[3; 4)

[0; 3)

[4; + \infty)

[3; + \infty)

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Ta có

f (x) = x^{2} - 4 x + m

g (x) = (x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{2} + 3)}^{3} = a_{12} x^{12} + a_{10} x^{10} + . . . + a_{2} x^{2} + a_{0}

.
Suy ra

f^{'} (x) = 2 x - 4

g^{'} (x) = 12 a_{12} x^{11} + 10 a_{10} x^{9} + . . . + 2 a_{2} x

.
Và

{[g (f (x))]}^{'} = f^{'} (x) [12 a_{12} {(f (x))}^{11} + 10 a_{10} {(f (x))}^{9} + . . . + 2 a_{2} f (x)]

= f (x) f^{'} (x) (12 a_{12} {(f (x))}^{10} + 10 a_{10} {(f (x))}^{8} + . . . + 2 a_{2})

.
Dễ thấy

a_{12}; a_{10}; . . .; a_{2}; a_{0} > 0

và

f^{'} (x) = 2 x - 4 > 0

\forall x > 3

.
Do đó

f^{'} (x) (12 a_{12} {(f (x))}^{10} + 10 a_{10} {(f (x))}^{8} + . . . + 2 a_{2}) > 0

\forall x > 3

.
Hàm số

g (f (x))

đồng biến trên

(3; + \infty)

khi

{[g (f (x))]}^{'} \geq 0

\forall x > 3

\Rightarrow

f (x) \geq 0

\forall x > 3

\Leftrightarrow

x^{2} - 4 x + m \geq 0

\forall x > 3

\Leftrightarrow

m \geq 4 x - x^{2}

\forall x > 3

\Rightarrow

m \geq \max_{[3; + \infty)} (4 x - x^{2}) = 3

.
Vậy

m \in [3; + \infty)

thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy đáp án đúng là D.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học