Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $\log_{3 a + 4 b + 25} (4 a^{3} + b^{3} + 1) + \log_{3 a b^{2}} (3 a + 4 b + 25) = 2$ . Giá trị biểu thức $a + b$ bằng

Name: Ôn Thi trắc nghiệm THCS, THPT
Rating: 4,1 (196528 reviews)

\frac{9}{2}

\frac{11}{3}

\frac{15}{2}

\frac{20}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có:

\log_{3 a b^{2}} (3 a + 4 b + 25) . \log_{(3 a + 4 b + 25)} (3 a b^{2}) = 1

.
Mà

\log_{(3 a + 4 b + 25)} (3 a b^{2}) > 0 \Rightarrow \log_{3 a b^{2}} (3 a + 4 b + 25) > 0 \Rightarrow 3 a b^{2} > 1

.
Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

\begin{array}{l} 2 = \log_{3 a + 4 b + 25} (4 a^{3} + b^{3} + 1) + \log_{3 a b^{2}} (3 a + 4 b + 25) \\ \geq 2 \sqrt{\log_{3 a b^{2}} (3 a + 4 b + 25) . \log_{3 a + 4 b + 25} (4 a^{3} + b^{3} + 1)} \\ \geq 2 \sqrt{\log_{3 a b^{2}} (4 a^{3} + b^{3} + 1)} . \end{array}

Do đó

\log_{3 a b^{2}} (4 a^{3} + b^{3} + 1) \leq 1 \Leftrightarrow 4 a^{3} + b^{3} + 1 \leq 3 a^{2} b \Leftrightarrow {(2 a - b)}^{2} (a + b) \leq 0 \Leftrightarrow b = 2 a

.
Khi đó

\{\begin{cases} \log_{3 a + 4 b + 25} (4 a^{3} + b^{3} + 1) = 1 \\ b = 2 a \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{3}{2} \\ b = 3 \end{cases} \Rightarrow a + b = \frac{9}{2} .

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi