Cho dãy số $(a_{n})$ xác định bởi $a_{1} = 5, a_{n + 1} = q . a_{n} + 3$ với mọi $n \geq 1$ , trong đó $q$ là hằng số, $q \neq 0$ , $q \neq 1$ . Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng $a_{n} = α . q^{n - 1} + β \frac{1 - q^{n - 1}}{1 - q}$ . Tính $α + 2 β$ ?

11

16

13

9

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Cách 1. Ta có:

a_{n + 1} - k = q (a_{n} - k)

\Leftrightarrow k - k q = 3

\Leftrightarrow k = \frac{3}{1 - q}

Đặt

v_{n} = a_{n} - k

\Rightarrow v_{n + 1} = q . v_{n} = q^{2} . v_{n - 1} = . . . = q^{n} . v_{1}

Khi đó

v_{n} = q^{n - 1} . v_{1} = q^{n - 1} . (a_{1} - k) = q^{n - 1} . (5 - \frac{3}{1 - q})

Vậy

a_{n} = v_{n} + k = q^{n - 1} . (5 - \frac{3}{1 - q}) + k = q^{n - 1} . (5 - \frac{3}{1 - q}) + \frac{3}{1 - q} = 5. q^{n - 1} + 3. \frac{1 - q^{n - 1}}{1 - q}

.
Do đó:

α = 5; β = 3

\Rightarrow α + 2 β = 5 + 2. 3 = 11

.
Cách 2. Theo giả thiết ta có

a_{1} = 5, a_{2} = 5 q + 3

. Áp dụng công thức tổng quát, ta được

\{\begin{cases} a_{1} = α . q^{1 - 1} + β \frac{1 - q^{1 - 1}}{1 - q} = α \\ a_{2} = α . q^{2 - 1} + β \frac{1 - q^{2 - 1}}{1 - q} = α q + β \end{cases}

, suy ra

\{\begin{cases} 5 = α \\ 5 q + 3 = α q + β \end{cases}

, hay

\{\begin{cases} α = 5 \\ β = 3 \end{cases}

\Rightarrow α + 2 β = 5 + 2. 3 = 11

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi