Cho $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{x \ln x}$ thỏa mãn $F (\frac{1}{e}) = 2$ và $F (e) = \ln 2.$ Giá trị của biểu thức $F (\frac{1}{e^{2}}) + F (e^{2})$ bằng

3 \ln 2 + 2

\ln 2 + 2

\ln 2 + 1

2 \ln 2 + 1

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có:

\int \frac{1}{x \ln x} d x

= \int \frac{d (\ln x)}{\ln x}

= \ln |\ln x| + C

x > 0

x \neq 1

.
Nên:

F (x) = \{\begin{cases} \ln (\ln x) + C_{1} khi x > 1 \\ \ln (- \ln x) + C_{2} khi 0 < x < 1 \end{cases}

.
Mà

F (\frac{1}{e}) = 2

nên

\ln (- \ln \frac{1}{e}) + C_{2} = 2

\Leftrightarrow C_{2} = 2

;

F (e) = \ln 2

nên

\ln (\ln e) + C_{1} = \ln 2

\Leftrightarrow C_{1} = \ln 2

.
Suy ra

F (x) = \{\begin{cases} \ln (\ln x) + \ln 2 khi x > 1 \\ \ln (- \ln x) + 2 khi 0 < x < 1 \end{cases}

.
Vậy

F (\frac{1}{e^{2}}) + F (e^{2})

= \ln (- \ln \frac{1}{e^{2}}) + 2 + \ln (\ln e^{2}) + \ln 2

= 3 \ln 2 + 2

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học